Дано: . Доказать существование и единственность двух движений.
Сначала перенесём плоскость так, чтобы совпала с . Так как расстояния и равны, поворотом вокруг можно совместить полученный луч с лучом ; тогда перейдёт в . Получили одно движение , сохраняющее ориентацию.
Отразим его результат относительно прямой . Обе точки и при этом остаются на месте, значит, композиция тоже переводит , . Это второе движение, меняющее ориентацию, и оно отлично от первого.
Докажем, что иных нет. Если — любое такое движение, то оставляет неподвижными и . Оно оставляет на месте каждую точку прямой , поскольку сохраняет расстояния до обеих неподвижных точек. Для точки вне этой прямой её образ с теми же двумя расстояниями может быть либо самой точкой, либо её отражением относительно прямой. Непрерывность движения не допускает смешения этих вариантов в разных полуплоскостях. Значит, композиция есть тождество или отражение в .
Итак, всего два движения.
