№ Центр симметрии четырёхугольника
Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
Решение
Дано: четырёхугольник имеет центр симметрии . Доказать: — параллелограмм.
При центральной симметрии вершины переходят в вершины четырёхугольника. Ни одна вершина не может перейти в себя: неподвижен только центр , который не является вершиной невырожденного четырёхугольника. Вершины переставляются двумя парами. Соответствующие вершины находятся на противоположных концах диагоналей; иначе одна из сторон переходила бы в ту же сторону с переставленными концами, а остальные вершины оказались бы по разные стороны от неё, что невозможно для простого четырёхугольника. Поэтому можно обозначить пары как , . По определению центральной симметрии — середина и , и : , . Следовательно, диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам. По признаку параллелограмма — параллелограмм.
Ответ
Четырёхугольник с центром симметрии является параллелограммом.
