Номер ЕГЭ 14.2

Дано: куб с ребром . Найти косинус угла вертикального ребра с плоскостью .

1. Введём прямоугольные координаты по рёбрам куба: , , , . Этот метод координат изучен для нахождения углов прямых и плоскостей.
2. Два направления плоскости — $\overrightarrow{{}_{}}$ и $\overrightarrow{}$. Вектор $\stackrel{⃗}{}$ перпендикулярен обоим: $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{{}_{}}$, $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{}$.
3. Направление равно . Синус угла прямой с плоскостью равен модулю косинуса угла этой прямой с нормалью: $\stackrel{⃗}{}\sqrt{}\sqrt{}$.
4. Тогда .