Высота правильной треугольной пирамиды равна , а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен . Найдите объём пирамиды.
Дано: правильная пирамида
-
Обозначим радиус описанной около основания окружности через
, сторону основания через , боковое ребро через (теорема Пифагора в ). -
Опустим из
и перпендикуляры на прямую . Их основания совпадут в точке , потому что равные треугольники и дают одинаковые проекции равных отрезков и на . Плоскость перпендикулярна , поэтому угол — линейный угол данного двугранного угла. -
Пусть угол между
и равен . По теореме косинусов в равнобедренном треугольнике имеем . Следовательно, в прямоугольном треугольнике длина ; так же . По теореме косинусов в треугольнике получаем . Так как , после сокращения на это даёт . -
Подставим
. После умножения равенства на получаем . Отсюда , то есть . -
Площадь равностороннего основания
. По формуле объёма пирамиды .
