ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 456

№

Объём правильной призмы

Найдите объём правильной $n$ -угольной призмы, у которой каждое ребро равно $a$ , если: а) $n=3$ ; б) $n=4$ ; в) $n=6$ ; г) $n=8$ .

Решение

Дано: правильная -угольная призма со всеми рёбрами . Найти объём для четырёх значений .

На чертеже показан случай четырёхугольного основания. По определению правильной призмы её основание — правильный многоугольник, а боковое ребро — высота. Следовательно, во всех случаях и по теореме об объёме прямой призмы .

а) Основание — равносторонний треугольник площади (высота по теореме Пифагора равна ). Поэтому .

б) Основание — квадрат площади . Поэтому .

в) Правильный шестиугольник разбивается радиусами на шесть равносторонних треугольников со стороной . Поэтому и .

г) Правильный восьмиугольник разрежем на центральный квадрат стороны и четыре равных трапеции либо воспользуемся его апофемой. В прямоугольном треугольнике, образованном половиной стороны и апофемой , имеем , поэтому . Периметр равен , а площадь правильного многоугольника — половине произведения периметра на апофему: . Следовательно, .

Вывод: объёмы равны площади каждого основания, умноженной на .

Ответ

а) ; б) ; в) ; г) .

Помогло?

Номер 456