№ Касательная плоскость к цилиндру
Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну. (В этом случае плоскость называется касательной плоскостью к цилиндру.)
Решение
Дано: плоскость оси цилиндра, расстояние от оси до равно радиусу . Доказать единственность образующей в .
Пересечём цилиндр и плоскость плоскостью основания. След плоскости — прямая на расстоянии от центра окружности основания, поскольку параллельна оси. По критерию касательной к окружности прямая касается её ровно в одной точке : перпендикуляр равен радиусу, а любая другая точка имеет . Прямая через , параллельная оси цилиндра, целиком лежит в и является образующей. Любая иная образующая в пересекала бы основание в другой точке окружности и прямой , чего нет. Доказано.
Ответ
Плоскость содержит ровно одну образующую цилиндра.
