№ Перпендикулярность в наклонной призме
Основание призмы — правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC⊥AA1; б) CC1B1B — прямоугольник.
Решение
Дано: — равносторонний треугольник, боковое ребро образует равные углы с и . Доказать а) ; б) — прямоугольник.
Пусть — середина . Поскольку , в равнобедренном треугольнике медиана является высотой, поэтому .
Равенство углов между и , означает равенство проекций на эти равные стороны. Направление получается как разность направлений и , следовательно, проекция на равна нулю. Поэтому . Это можно выразить и через проекцию на основание: она равноудалена по направлению от и и лежит на перпендикуляре к через .
Все боковые рёбра призмы параллельны, значит, и . По определению призмы — параллелограмм. Параллелограмм с прямым углом есть прямоугольник, что и доказывает б).
