№ Доказательство: суммы углов многоугольников — арифметическая прогрессия
Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией. Чему равна её разность?
Решение
Сумма внутренних углов выпуклого -угольника равна .
Обозначим члены последовательности так: — сумма углов треугольника (), — сумма углов четырёхугольника (), — сумма углов пятиугольника () и т. д., т. е. соответствует многоугольнику с сторонами.
.
Формула имеет вид (с коэффициентом и ), а такая последовательность — арифметическая прогрессия.
Разность прогрессии равна (сумма углов каждого следующего многоугольника на больше предыдущего, так как у него на одну сторону и один угол больше, а сумма углов треугольника, на который дополнительно разбивается многоугольник, равна ).
Ответ
Да, это арифметическая прогрессия: , , , … с разностью .
