ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев, номер 466

№

Задача-исследование: полоса, угол или прямая

(Задача-исследование.) При каких значениях $k$ и $b$ система неравенств $\begin{cases}y\leq3x-1,\\y\geq kx+b\end{cases}$ задаёт на координатной плоскости:
а) полосу;
б) угол;
в) прямую?
Может ли эта система не иметь решений?

Обсудите, какое множество точек задаёт на координатной плоскости каждое неравенство системы.
Выясните, при каких значениях $k$ и $b$ система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.
Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.
Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.

Решение

Первое неравенство задаёт полуплоскость не выше прямой (с границей). Второе неравенство задаёт полуплоскость не ниже прямой (с границей). Решение системы — пересечение этих полуплоскостей; вид этого пересечения зависит от взаимного расположения прямых и .

Если прямые не параллельны (), они пересекаются в одной точке и делят плоскость на четыре угла; пересечением двух полуплоскостей (одной — не выше первой прямой, другой — не ниже второй) всегда является один из этих углов — угол, причём непустой при любых и (у двух пересекающихся прямых любая комбинация полуплоскостей имеет общую часть).

Если прямые параллельны (), возможны два случая.
— Если прямая лежит строго ниже прямой , т. е. , то между прямыми образуется полоса: .

— Если , обе прямые совпадают: . Условия и выполняются одновременно только при — система задаёт прямую (область нулевой ширины).

— Если , прямая лежит строго выше прямой . Тогда нет ни одной точки, которая одновременно лежала бы не выше нижней прямой и не ниже верхней: система не имеет решений. Например, при , : — для любого число , то есть одновременно и выполняться не может.

Ответ

а) Полоса — при и .
б) Угол — при (при любом ).
в) Прямая — при и .
Да, система может не иметь решений: при и (например, , ) прямая лежит выше прямой , и общих точек нет.

Помогло?

Номер 466