ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев, номер 691

№

Равносильность систем — графический смысл сложения уравнений

Используя графики уравнений, изображённые на рисунке 30, объясните графический смысл равносильности систем уравнений

\begin{cases}2x-y=5,\\x+y=1\end{cases}\quad\text{и}\quad\begin{cases}(2x-y)+(x+y)=5+1,\\x+y=1.\end{cases}

(На рисунке 30 в одной системе координат показаны три прямые:

2x-y=5

x+y=1

и прямая, полученная сложением левых и правых частей этих двух уравнений; все три прямые проходят через одну и ту же точку.)

Решение

Упростим первое уравнение второй системы: — это уравнение вертикальной прямой.

Если пара чисел — решение первой системы, то верны оба равенства и ; сложив их почленно, получаем верное равенство — значит, эта пара удовлетворяет первому уравнению второй системы, а второе уравнение у систем одно и то же. Поэтому всякое решение первой системы является решением второй.

Обратно, если пара удовлетворяет уравнениям и , то, вычтя из первого равенства второе, получим — исходное первое уравнение. Значит, всякое решение второй системы является решением первой. Поэтому системы равносильны — у них одно и то же множество решений.

Графически это означает: прямая обязательно проходит через точку пересечения прямых и , так как координаты этой точки удовлетворяют сумме уравнений. Найдём саму точку: из и получаем . Поэтому на рисунке все три прямые пересекаются в одной точке — общем решении обеих систем.

Ответ

Системы равносильны, так как первое уравнение второй системы получено почленным сложением уравнений первой системы, а второе уравнение не изменилось. Поэтому графики всех трёх уравнений (, , ) пересекаются в одной точке .

Помогло?

Номер 691