Пусть — искомое двузначное число. Одинаковые последние две цифры означают одинаковые остатки при делении на . Поэтому необходимое условие для второй степени — делимость на .
Числа и последовательны и взаимно просты. Так как , все множители должны находиться в одном из этих чисел. Следовательно, на делится либо , либо .
Среди двузначных чисел этому требованию удовлетворяют только
Для первых трёх кратно , для последних трёх кратно .
Кроме того, произведение должно делиться на . Из последовательных чисел только одно чётное, поэтому именно оно должно быть кратно . Это означает, что даёт остаток или при делении на .
Из перечисленных кандидатов подходят и : , . Числа и дают остаток , а и — остаток . Проверяем:
Докажем достаточность для всех степеней. Первая степень оканчивается нужными цифрами. Если , то по распределительному закону
Поскольку , получаем , то есть те же последние две цифры. Последовательно это верно для любой натуральной степени.
Значит, искомые числа — и .
