№ Оптимальная парабола с двумя касаниями
Рассматриваются всевозможные параболы, касающиеся оси Ox и прямой y=2x−3 и такие, что их ветви направлены вниз. Найти уравнение той параболы, для которой сумма расстояний от начала координат до точек пересечения параболы с осями координат является наименьшей.
Решение
Для найденной ниже параболы опорные точки графика: при имеем , при — , при — . Касательная при также проходит через .
Парабола, касающаяся оси и направленная ветвями вниз, имеет вид , где и вершина — точка касания с . Пусть она касается прямой при . Равенство наклонов касательных даёт , откуда . Равенство ординат даёт . Подставив первое, получим , поэтому и . Так как , положим ; тогда , . Пересечения параболы с осями: и . Их расстояния от начала координат равны и , так что сумма . По правилу производной дроби . Производная отрицательна при и положительна при , значит, минимум достигается при . Тогда , , и искомое уравнение . Проверка касания: при производная , а ордината совпадает с .
