№ Наибольшая площадь трапеции с вершинами на параболе
На координатной плоскости даны точки B(3;1) и C(5;1). Рассматриваются трапеции, для которых отрезок BC является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы y=(x−1)2, выделяемой условием 0≤x≤2. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
Решение
Основания трапеции параллельны, поэтому вершины на параболе должны иметь одинаковую ординату. По симметрии параболы относительно обозначим их абсциссы и , где . Тогда , . По формуле расстояния между точками на горизонтали ; . Высота — разность ординат оснований . По формуле площади трапеции . Производная . Она положительна при и отрицательна при . Следовательно, максимум при . Подставим: .
