ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 864

№

Угол между кривыми

Под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):

$y = 8 - x$ и $y = 4\sqrt{x+4}$ ;
$y = \frac{1}{2}(x+1)^2$ и $y = \frac{1}{2}(x-1)^2$ ;
$y = \ln(1+x)$ и $y = \ln(1-x)$ ;
$y = e^x$ и $y = e^{-x}$ ?

Решение

План: находим точку пересечения графиков (приравниваем функции), затем угловые коэффициенты касательных и в этой точке. Если , то касательные перпендикулярны (условие перпендикулярности прямых) и угол равен .

Приравниваем: . Левая часть должна быть неотрицательной: . Возводим в квадрат:

Корень не удовлетворяет условию . Остаётся (проверка: и ).
Угловые коэффициенты: для получаем ; для получаем , .
, касательные перпендикулярны: угол .
, , , (точка ).
, ; , . , угол .
Функции определены при . , значит , (точка ).
, ; , . , угол .
, , (точка ).
, ; , . , угол .

Ответ

;
;
;
.

Помогло?

Номер 864