Запишите в виде степени с рациональным показателем… (алгебра)

№ Запись корня в виде степени

Запишите в виде степени с рациональным показателем:

$2$ ;
$\frac{3}{3}$ ;
$\frac{1}{2 2}$ ;
$325$ ;
$427$ ;
$3 (\frac{1}{5})^{2}$ .

Решение

Знак «·» перед корнем в п. и «» под корнем в п. на фото плохо различимы, читаю как и .

💡 Почему так

, .

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
;
;
;

№ Запись степени с помощью радикалов

Запишите с помощью радикалов:

$3^{\frac{1}{2}}$ ;
$2^{- \frac{3}{2}}$ ;
$5^{\frac{2}{3}}$ ;
$3^{- \frac{6}{5}}$ ;
$(\frac{2}{3})^{- \frac{10}{3}}$ ;
$5^{0, 5}$ ;
$2^{- 0, 25}$ ;
$(\frac{1}{3})^{- \frac{2}{5}}$ ;
$2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{5}}$ ;
$(\frac{3}{4})^{- \frac{1}{2}}$ .

Решение

💡 Почему так

; отрицательный показатель переворачивает основание.

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
;
;
;
;
;
;
;

№ Действия со степенями с рациональным показателем

Выполните действия:

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}}$ ;
$(\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4 ^{\frac{5}{6}}})^{3}$ ;
$\frac{3 3 9}{4 27}$ ;
$\frac{a ^{\frac{2}{3}} a ^{- \frac{5}{4}}}{a ^{\frac{3}{2}} a ^{- \frac{1}{3}}}$ ;
$((a^{2})^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}$ ;
$\frac{3 ^{\frac{1}{3}} \cdot 7 ^{\frac{1}{3}}}{9 ^{\frac{1}{3}}}$ .

Решение

Под корнем: . Тогда
Числитель: . Знаменатель: .

💡 Почему так

, , .

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
;
;
;

№ Сравнение степеней

Расположите числа в порядке возрастания:

$2^{- \frac{3}{4}}$ ; 2; $\frac{1}{2}$ ; $2^{\frac{2}{3}}$ ; $2^{- \frac{4}{3}}$ ;
$(\frac{1}{3})^{2}$ ; $(\frac{1}{3})^{- \frac{1}{2}}$ ; $9^{- \frac{1}{3}}$ ; $3^{\frac{3}{4}}$ ; $(\frac{1}{9})^{- \frac{3}{2}}$ ;
$2^{4}$ ; $(\frac{3}{2})^{4}$ ; $(- 3)^{4}$ ; $(- \frac{3}{4})^{- 4}$ ; $(\frac{9}{25})^{2}$ ;
$3^{3}$ ; $(- 2)^{3}$ ; $(\frac{1}{27})^{- 2}$ ; $(\frac{2}{3})^{- 3}$ ; $2^{6}$ .

Решение

Приведём к основанию : , . Показатели: . Основание больше , поэтому порядок чисел совпадает с порядком показателей: .
; ; ; ; .

Порядок: .

; ; ; ; .
; ; ; ; .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Доказательство неравенств

Докажите неравенство:

$(\frac{1}{4})^{- \frac{3}{2}} < (\frac{1}{27})^{- \frac{2}{3}}$ ;
$3^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}} > 5^{\frac{1}{5}}$ ;
$200 3^{\frac{1}{2}} + 200 5^{\frac{1}{2}} < 2 \cdot 200 4^{\frac{1}{2}}$ ;
$2^{\frac{1}{100}} + 10 1^{- 1} > 1$ .

Решение

, . Так как , неравенство верно.
Сравним и : возведём в -ю степень: и . Так как , то .

Сравним и : возведём в -ю степень: и . Так как , то .

Обе части положительны, возведём в квадрат.

Левая часть: .

Правая часть: .

Так как , левая часть меньше правой, неравенство верно.

и , поэтому сумма больше .

Ответ

✓ dzmen.ru

Неравенства доказаны.

№ Графическое решение уравнений

Решите уравнения, построив графики степенных функций (или их комбинаций), стоящих в его левой и правой частях:

$x^{3} = 2 - x$ ;
$2 x^{3} = \frac{1}{2} x + 15$ ;
$3 x^{3} = ∣ x - 4∣$ ;
$x^{4} = 5 x + 6$ ;
$\frac{1}{x} = \frac{3}{4} (x + \frac{5}{3})^{2}$ ;
$\frac{4}{x ^{2}} = x - 1$ .

Решение

Строим в одной системе координат графики левой и правой частей, абсцисса точки пересечения — корень. Проверяем подстановкой, что других корней нет.

Графики пересекаются в точке . Проверка: . Функция возрастает, убывает, поэтому корень один.

Пересечение при : . Другие корни: , а у второй скобки .

При равенство невозможно: . При уравнение имеет корень : . Левая часть возрастает, правая убывает, корень один.

Пересечения при () и (). Разложение: , у последней скобки .

Пересечение в точке : и . Умножим на : , у второй скобки .

Пересечение в точке : . Уравнение , у второй скобки .

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
;
и ;
;

Помогло?

Запишите в виде степени с рациональным показателем: 1) √2; 2) √33; 3)…