x⁴-7x²+12<0 (алгебра)

№ Биквадратное неравенство

⚠️

Не решены: задание (верх фото обрезан, не видно, есть ли степень у правой части (x+)) и задание (видна только верхняя часть строки). Переснимите страницу чуть ниже и крупнее, чтобы в кадр попали верх задания и всё задание . В задании первый «x» зачёркнут, я его не учитывал. В задании я прочитал множитель в знаменателе как коэффициент.

$x^{4} - 7 x^{2} + 12 < 0$

Решение

Разложим левую часть на множители. Пусть , тогда .

Это значит, что .

Из получаем . Из получаем . Итого .

Тот же результат даёт метод интервалов для с корнями . Знак «−» на промежутках и .

💡 Почему так

Биквадратное неравенство решается заменой . После возврата к получаем двойное неравенство для .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Рациональное неравенство, метод интервалов

$\frac{( x + 4 ) ^{3} ( x + 3 ) ( 1 - x ) ^{3} ( x - 2 ) ^{2}}{3 ( - 5 - x ) ^{4} ( 16 - 4 x ) ^{4}} > 0$

Решение

Знаменатель: и . Эти множители неотрицательны, а нулю равны при и . Эти точки исключаем, а на остальных знаменатель положителен.

Остаётся неравенство для числителя при :

Заменим и разделим на :

Множитель не меняет знак. При левая часть равна нулю, поэтому не подходит. Остальные нечётные степени сохраняют знак, поэтому достаточно решить

Корни: . При знак «+», затем знаки чередуются:

: «+»
: «−»
: «+»
: «−»

Нам нужен «−»: или . Точка в этот ответ не входит. Точку нужно выколоть, потому что она лежит в . Точка тоже не входит.

💡 Почему так

Чётные степени не меняют знак, но их корни надо исключать (в знаменателе всегда, в числителе при строгом неравенстве). Нечётные степени ведут себя как первая степень.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Кубическое неравенство

$x^{3} - x^{2} + 1 - 1 \leq 0$

Решение

Приведём подобные слагаемые: .

Вынесем общий множитель: .

Так как , возможны два случая:

, то есть , тогда неравенство верно.
, тогда , то есть .

Объединяя, получаем , а точка уже входит в этот промежуток.

💡 Почему так

Множитель неотрицателен, поэтому знак произведения определяется множителем , а корень чётной кратности надо проверить отдельно.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?