Вычисли остальные углы трапеции ABCD, если ∠A = 42°, ∠C = 111°.

Основания трапеции — BC и AD, то есть BC AD. Углы при боковой стороне AB в сумме дают °, как односторонние углы при параллельных прямых. То же верно для боковой стороны CD.

У квадрата все стороны равны, поэтому , откуда .

см.

Пусть меньшая сторона равна м, тогда большая равна м.

Проверка: .

Соседние углы параллелограмма в сумме дают °. Пусть меньший угол равен , тогда другой равен .

Противоположные углы параллелограмма равны, значит и .

Угол ° острый, поэтому он лежит при большем основании. Углы при меньшем основании тупые, и каждый из них в сумме с острым углом даёт °.

Дано: ABCD — параллелограмм, AK — биссектриса угла A, K ∈ BC, BK = , CK = .
Найти: .

1. , так как AK — биссектриса.
2. , поэтому как накрест лежащие углы при секущей AK.
3. Значит, , и треугольник ABK равнобедренный с основанием AK. Тогда .
4. .
5. .

Дано: MHPK — ромб, ∠K тупой, E — точка пересечения диагоналей, один из углов треугольника PKE равен °.
Найти: углы ромба.

1. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому и треугольник PKE прямоугольный.
2. Диагонали ромба делят его углы пополам. Угол K тупой, значит , и угол ° — это .
3. , поэтому .
4. , поэтому .
5. Противоположные углы ромба равны: , .

Проведём высоты BH и CF. Треугольник ABH прямоугольный, , поэтому . Значит, треугольник равнобедренный и .

Трапеция равнобедренная, поэтому . Четырёхугольник HBCF — прямоугольник, поэтому .

9. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными противолежащими сторонами — трапеция.
10. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
11. Диагонали перпендикулярны у ромба (и у квадрата как частного случая ромба).