Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они…

Возьмём плоскость и плоскость . В проведём две пересекающиеся прямые и . Каждая из них параллельна , но и пересекаются.
Можно взять и скрещивающиеся прямые, параллельные : одну в , другую в плоскости, параллельной и отличной от .
Значит, утверждение неверно.

Пусть — данная плоскость, .

а) Две пересекающиеся прямые, лежащие в , параллельны и пересекаются.

б) Одна прямая лежит в , другая — в плоскости , , и эти прямые не параллельны. Обе параллельны . Они лежат в разных параллельных плоскостях и не параллельны, значит, скрещиваются.

Боковые стороны трапеции не параллельны друг другу, поэтому они лежат на пересекающихся прямых. Две пересекающиеся прямые плоскости трапеции параллельны плоскости . По признаку параллельности плоскостей плоскость трапеции параллельна .

Если параллельны две смежные стороны, они лежат на пересекающихся прямых. По признаку параллельности плоскостей плоскость параллелограмма параллельна .
Если параллельны две противоположные стороны, они параллельны друг другу. Тогда плоскость параллелограмма может пересекать по прямой, параллельной этим сторонам, и параллельность плоскостей не следует.

Пусть , расстояние между ними . Отрезок с концами , имеет длину , где — проекция на . Возьмём в точки и , одинаково удалённые от . Тогда и отрезки , непараллельны (имеют общую точку ).

У тетраэдра грани, и каждая грань — треугольник. В треугольнике не более одного прямого угла, поэтому всего прямых углов граней не больше . Пять прямых углов быть не может.