Верно ли утверждение: если две прямые не имеют… (геометрия)

№ Параллельность прямых в пространстве

⚠️

Решены вопросы –. Вопрос на фото обрезан (виден только его обрывок), и в самом верху виден лишь край предыдущего задания про сечение параллелепипеда, поэтому они не решены. Чтобы их решить, переснимите страницу так, чтобы были видны верх и низ.

Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?

Решение

В планиметрии это верно, а в пространстве нет. Прямые и на чертеже не имеют общих точек, но не лежат в одной плоскости. Это скрещивающиеся прямые, и они не параллельны.
Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

💡 Почему так

Параллельные прямые по определению лежат в одной плоскости. Отсутствие общих точек в пространстве ещё не означает параллельности.

Ответ

✓ dzmen.ru

Неверно: прямые могут быть скрещивающимися.

№ Прямые через точку, не пересекающие данную

Точка $M$ не лежит на прямой $a$ . Сколько прямых, не пересекающих прямую $a$ , проходит через точку $M$ ? Сколько из этих прямых параллельны прямой $a$ ?

Решение

Через и проходит единственная плоскость . Прямая через пересекает только тогда, когда она лежит в . Значит, любая прямая через , не лежащая в , не пересекает , и таких прямых бесконечно много.
В плоскости через проходит ровно одна прямая, параллельная .

💡 Почему так

Через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная данной. Остальные не пересекающие её прямые скрещиваются с ней.

Ответ

✓ dzmen.ru

Не пересекающих прямых через бесконечно много; параллельна ровно одна.

№ Транзитивность параллельности

Прямые $a$ и $c$ параллельны, а прямые $a$ и $b$ пересекаются. Могут ли прямые $b$ и $c$ быть параллельными?

Решение

Допустим, . Так как , по признаку параллельности трёх прямых . Это противоречит тому, что и пересекаются. Значит, и не могут быть параллельными.

💡 Почему так

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Ответ

✓ dzmen.ru

Нет, не могут.

№ Прямая, параллельная плоскости

Прямая $a$ параллельна плоскости $α$ . Верно ли, что эта прямая:
а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости $α$ ;
б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости $α$ ;
в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости $α$ ?

Решение

а) Прямая не имеет с общих точек, поэтому не имеет их и ни с одной прямой этой плоскости. Утверждение верно.
б) Прямая в плоскости , не параллельная , скрещивается с ней. Утверждение неверно.
в) Плоскость , проходящая через , пересекает по прямой . Она лежит с в одной плоскости и общих точек с не имеет, значит . Утверждение верно.

💡 Почему так

Прямая, параллельная плоскости, параллельна лишь тем прямым плоскости, которые лежат с ней в одной плоскости. Остальные прямые плоскости с ней скрещиваются.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) верно; б) неверно; в) верно

№ Прямые плоскости, параллельные данной прямой

Прямая $a$ параллельна плоскости $α$ . Сколько прямых, лежащих в плоскости $α$ , параллельны прямой $a$ ? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости $α$ ?

Решение

Через каждую точку плоскости проходит прямая, параллельная . Она лежит в плоскости , потому что плоскость, проведённая через эту точку и , пересекает по прямой, параллельной . Таких прямых бесконечно много.
Все они параллельны , поэтому по признаку параллельности трёх прямых параллельны и друг другу.

💡 Почему так

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Ответ

✓ dzmen.ru

Бесконечно много; да, эти прямые параллельны друг другу.

№ Прямая, пересекающая плоскость

Прямая $a$ пересекает плоскость $α$ . Лежит ли в плоскости $α$ хоть одна прямая, параллельная $a$ ?

Решение

Допустим, в плоскости лежит прямая . Тогда лежит в или параллельна по признаку параллельности прямой и плоскости. Оба случая противоречат тому, что пересекает в одной точке. Значит, такой прямой в плоскости нет.

💡 Почему так

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая её пересекает.

Ответ

✓ dzmen.ru

Нет, не лежит.

№ Параллельные прямые и плоскость

Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

Решение

Пусть и . Прямая может лежать в плоскости , как на чертеже. Тогда она не параллельна и имеет с ней общие точки. Утверждение неверно.

💡 Почему так

Вторая прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Ответ

✓ dzmen.ru

Неверно: вторая прямая может лежать в этой плоскости.

№ Прямые, параллельные одной плоскости

Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?

Решение

Возьмём плоскость и две прямые и в плоскости, параллельной . Обе прямые параллельны , но могут пересекаться или быть скрещивающимися.
Пример: прямые и лежат над плоскостью , пересекаются и не параллельны. Утверждение неверно.

💡 Почему так

Параллельность двум прямым одной плоскости не даёт параллельности между ними: они могут пересекаться или скрещиваться.

Ответ

✓ dzmen.ru

Неверно.

№ Две прямые, параллельные плоскости

Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться; б) быть скрещивающимися?

Решение

а) Да. Возьмём две пересекающиеся прямые в плоскости , параллельной . Каждая из них параллельна , и они пересекаются.
б) Да. Возьмём скрещивающиеся прямые и и проведём через плоскость, параллельную (через точку на проводим прямую, параллельную ; плоскость строим по ней и ). Параллельную ей плоскость возьмём так, чтобы и были параллельны . Например, два непараллельных ребра верхнего основания параллелепипеда скрещиваются с нижним основанием не пересекаются, но параллельны ему. Обе прямые параллельны плоскости основания, но скрещиваются, если одну из них взять в верхнем основании, а другую в плоскости чуть ниже, параллельной основанию.

💡 Почему так

Прямые, параллельные плоскости, могут быть расположены между собой как угодно.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) да; б) да

Помогло?

Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они…