Василий Иванович выписывает на доску подряд натуральные числа: 12345678910111213… Выписав очередное число, он заметил, что получившуюся запись можно разделить на три фрагмента так, что в каждом из них будет записано чётное число нулей, двоек и троек. (Напомним, что 0 — тоже чётное число; так, например, в числе 555 чётное число шестёрок). Василий Иванович внимательно посмотрел на доску и понял, что ранее такую операцию проделать было нельзя. Какое число Василий Иванович написал последним?
Для каждого начала записи (префикса) следим за чётностью количества цифр
Если запись разрезана на три фрагмента, и в каждом чётное число нулей, двоек и троек, то чётность во всей записи до первого разреза, до второго разреза и до конца равна (
Идём по цифрам:
- после «
»: ( , , ) — первое подходящее место; - после «
»: ( , , ); после « »: ( , , ); - цифры
– ничего не меняют: ( , , ); - число
: после « » ( , , ), после « » ( , , ); - число
: ( , , ); - число
: после « » ( , , ); - число
: после « » ( , , ); - числа
– не содержат , , : ( , , ); - число
: после « » ( , , ), после « » ( , , ); - число
: после « » ( , , ) — второе подходящее место, после « » ( , , ) — третье, и оно на конце числа.
До числа
Проверка для записи до
Условие «в каждом фрагменте чётное число цифр» равносильно тому, что чётность количества этих цифр во всей записи до каждого разреза и до конца равна нулю.
