В задачах 7–12 дан параллелограмм. Найдите x. На… (геометрия)

№ Углы параллелограмма

⚠️

Задача (доказать, что MN перпендикулярна BD) не решена: на фото мелкие значки равных отрезков и углов, и по ним нельзя надёжно определить, что дано. Чтобы я решил её, переснимите её ближе и крупнее. Задачи – решены.

В задачах 7–12 дан параллелограмм. Найдите x. На рисунке: смежные стороны (левая и нижняя) отмечены равными; из вершины верхнего левого угла проведён отрезок к правой стороне, он перпендикулярен ей и делит её пополам (части отмечены равными); x — угол при нижней правой вершине.

Решение

Смежные стороны равны, значит, параллелограмм — ромб, и все стороны равны: .

— перпендикуляр к и делит пополам, поэтому — высота и медиана треугольника . Значит, .

Тогда , и треугольник равносторонний, .

Углы и параллелограмма прилежат к одной стороне :

💡 Почему так

Параллелограмм с равными смежными сторонами — ромб. Сумма соседних углов параллелограмма равна .

Ответ

№ Углы ромба

В задачах 7–12 дан параллелограмм. Найдите x. На рисунке: верхняя и правая стороны отмечены равными; из верхней левой вершины проведена высота к нижней стороне и диагональ к нижней правой вершине; угол между высотой и диагональю равен $3 2^{\circ}$ ; x — угол при верхней правой вершине.

Решение

Смежные стороны равны, значит, это ромб, и диагональ — биссектриса угла .

В прямоугольном треугольнике :

Диагональ делит угол пополам:

Углы и прилежат к одной стороне:

💡 Почему так

Диагонали ромба делят его углы пополам.

Ответ

№ Углы параллелограмма

В задачах 7–12 дан параллелограмм. Найдите x. На рисунке: левая сторона равна 4 и отмечена равной верхней; из верхней левой вершины проведена высота к нижней стороне, она отсекает от нижней стороны справа отрезок 2; x — угол при нижней правой вершине.

Решение

Левая и верхняя стороны равны, значит, это ромб, и нижняя сторона тоже равна .

В прямоугольном треугольнике гипотенуза , катет , то есть катет вдвое меньше гипотенузы. Значит, он лежит против угла :

Углы и прилежат к одной стороне:

💡 Почему так

Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла .

Ответ

№

Углы ромба

В задачах 7–12 дан параллелограмм. Найдите x. На рисунке: нижняя и правая стороны отмечены равными; из нижней правой вершины проведены диагональ и отрезок к верхней стороне, равный стороне; угол между ними $3 0^{\circ}$ ; x — угол при нижней левой вершине.

Решение

Смежные стороны равны, значит, это ромб, и диагональ делит угол пополам. Пусть . Тогда .

По рисунку .

Угол ромба равен .

Треугольник равнобедренный (), поэтому .

Приравниваем два выражения для :

Угол равен углу (противоположные углы):

💡 Почему так

Диагональ ромба — биссектриса угла, а углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Ответ

№

Ромб, диагонали

В задачах 7–12 дан параллелограмм. Найдите x. На рисунке: диагонали перпендикулярны; половина одной диагонали равна 2; угол между стороной и другой диагональю при нижней левой вершине равен $3 0^{\circ}$ ; x — сторона параллелограмма.

Решение

Диагонали перпендикулярны, значит, это ромб, и треугольник прямоугольный: , .

Катет против угла равен половине гипотенузы, поэтому

Все стороны ромба равны, поэтому .

💡 Почему так

Катет против угла равен половине гипотенузы. Стороны ромба равны.

Ответ

№

Углы параллелограмма

В задачах 7–12 дан параллелограмм. Найдите x. На рисунке: на верхней стороне взята точка, она соединена с обеими нижними вершинами; угол между левой стороной и левым отрезком равен $1 5^{\circ}$ , угол между правой стороной и правым отрезком равен $4 0^{\circ}$ ; x — угол между отрезками при этой точке.

Решение

Левая и правая стороны параллельны. Через проведём прямую, параллельную этим сторонам.

Она делит угол на две части. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому одна часть равна , другая — .

💡 Почему так

Проведённая прямая параллельна боковым сторонам, и накрест лежащие углы при ней равны.

Ответ

Помогло?

В задачах 7–12 дан параллелограмм. Найдите x. На рисунке: смежные стороны (левая…