В треугольнике ABC стороны AB, BC и CA равны 7, 4 и 8 соответственно. Можно ли утверждать, что этот треугольник остроугольный? Подтвердите или опровергните это утверждение.
Решение.
- Вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) определяется наибольшим углом. Так как CA > ___ > BC, то ___ > ∠C > ∠A. Значит, в треугольнике ABC ___ является угол ___. Вид угла можно определить по ___ его косинуса. Утверждение «треугольник остроугольный» будет верным, если угол B — ___, т. е. cos B ___ 0.
- По теореме косинусов CA² = AB² + BC² − , откуда cos B = (AB² + BC² − CA²)/.
- Подставим длины сторон: cos B = (7² + ___ − ___)/(2 · 7 · ___) = ___. Значит, cos B ___ 0, поэтому угол B — ___.
- Итак, треугольник ABC — ___ (остроугольный / тупоугольный / прямоугольный).
Ответ. Утверждение о том, что треугольник ABC — остроугольный, ___ (верно / неверно).
-
Так как CA > AB > BC, то ∠B > ∠C > ∠A (против большей стороны лежит больший угол). Наибольшим является угол B. Вид угла определяется по знаку его косинуса. Утверждение верно, если угол B острый, т. е. cos B >
. -
По теореме косинусов
, откуда
-
Подставим:
Значит,, поэтому угол B острый. -
Наибольший угол острый, значит, и два других острые. Треугольник ABC — остроугольный.
Вид треугольника определяется наибольшим углом: если косинус наибольшего угла положителен, угол острый и треугольник остроугольный.
Пропуски: AB; ∠B; наибольшим, B; знаку; острый, >;
В параллелограмме ABCD диагонали AC = 10 см, BD = 6 см, ∠AOB = 60°. Найдите периметр параллелограмма.
Решение.
По теореме ___ для треугольника AOB запишем: AB² = AO² + ___ − 2 ___. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся ___, то AO = ___ см, BO = ___ см. Поэтому AB² = 5² + ___ − 2 , AB = ___ см.
Аналогично, в треугольнике BOC имеем: BC² = OB² + . Так как ∠BOC = 180° − ∠, то cos ∠BOC = cos(180° − ∠) = −cos ∠AOB = ___. Следовательно, BC² = 3² + ___ = ___ = , BC = ___ см.
Теперь найдём периметр параллелограмма: P_ABCD = 2( + ) = 2( + BC) см.
Ответ. ___.
По теореме косинусов для треугольника AOB:
Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому
В треугольнике BOC:
Так как
Смежные углы AOB и BOC в сумме дают
AB = √
Для нахождения неизвестных элементов треугольника по известным составляется памятка. Продолжите составление памятки для решения треугольника по двум углам и стороне и по трём сторонам.
Решение треугольников
- a, b, ∠C → c, ∠A, ∠B: c = √(a² + b² − 2ab cos C), cos A = (b² + c² − a²)/(2bc), ∠B = 180° − (∠A + ∠C).
- a, ∠B, ∠C → b, c, ∠A: ___ ___ ___
- a, b, c → ∠A, ∠B, ∠C: cos A = ___, cos B = ___, ∠C = ___
- По двум углам и стороне: сначала третий угол, затем две другие стороны по теореме синусов.
- По трём сторонам: два угла по теореме косинусов, третий — по сумме углов.
- ∠A =
° − (∠B + ∠C); b = a sin B / sin A; c = a sin C / sin A. - cos A = (b² + c² − a²)/(
bc); cos B = (a² + c² − b²)/( ac); ∠C = ° − (∠A + ∠B).
Заполните таблицу, ответив на вопрос, возможно или нет найти оставшиеся элементы остроугольного треугольника ABC.
| Известные элементы | Неизвестные | Возможно найти / невозможно найти |
|---|---|---|
| стороны a и c, угол γ | ||
| стороны a и c, угол β | ||
| углы α, β, γ | ||
| стороны a, b и c | ||
| сторона a и угол α |
- Известны a, c, γ. По теореме синусов
. Треугольник остроугольный, поэтому α острый и определяется однозначно. Затем и . Найти можно. - Известны a, c и угол β между ними. По теореме косинусов находим b, затем по теореме косинусов — углы α и γ. Найти можно.
- Известны только углы. Подобных треугольников с такими углами бесконечно много, стороны определить нельзя.
- Известны три стороны. Углы находим по теореме косинусов. Найти можно.
- Известны сторона a и угол α. Для остальных элементов данных недостаточно. Найти нельзя.
| Известные | Неизвестные | Возможно/невозможно |
|---|---|---|
| стороны a и c, угол γ | b, α, β | возможно |
| стороны a и c, угол β | b, α, γ | возможно |
| углы α, β, γ | a, b, c | невозможно |
| стороны a, b и c | α, β, γ | возможно |
| сторона a и угол α | b, c, β, γ | невозможно |
