В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б)…

Пусть ромб , . Так как как стороны ромба, то , и треугольник равносторонний.

а) . Противоположные углы ромба равны: . Сумма соседних углов :

б) Диагональ образует со сторонами и углы (углы равностороннего треугольника).
Диагональ делит угол пополам:

В ромбе , а , поэтому треугольник равнобедренный с углом при вершине, то есть равносторонний.

Значит, см.

Пусть в ромбе . Тогда соседний угол:

Диагонали ромба делят его углы пополам:


Остальные углы равны им по свойству ромба.

Пусть — параллелограмм, — точка пересечения диагоналей.

а) Пусть . Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: . В треугольнике отрезок является медианой и высотой, поэтому равнобедренный: . У параллелограмма противоположные стороны равны, значит, все четыре стороны равны, и — ромб.

б) Пусть диагональ делит угол пополам: . Так как , то (накрест лежащие). Значит, , и треугольник равнобедренный: . Смежные стороны параллелограмма равны, следовательно, — ромб.

Пусть — ромб, .

Ромб является параллелограммом, а у параллелограмма противоположные углы равны: . Сумма соседних углов равна :

Значит, все углы ромба прямые, то есть — прямоугольник. У ромба все стороны равны. Прямоугольник с равными сторонами является квадратом.