Докажите, что параллелограмм, один из углов… (геометрия)

№

Признак прямоугольника

Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Решение

Пусть в параллелограмме угол .

Противоположные углы параллелограмма равны: .
Так как , углы и — односторонние при секущей , поэтому .
.

Все четыре угла прямые, значит, — прямоугольник.

💡 Почему так

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ответ

Доказано: все углы параллелограмма прямые, он является прямоугольником.

№

Четырёхугольник с прямыми углами

Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

Решение

Пусть в четырёхугольнике все углы равны .

Углы и — односторонние при прямых , и секущей , и . Значит, .
Аналогично , поэтому .
Противоположные стороны попарно параллельны, значит, — параллелограмм с прямым углом.

По задаче это прямоугольник.

Ответ

Доказано: — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

№

Периметр прямоугольника и биссектриса

Найдите периметр прямоугольника $A B C D$ , если биссектриса угла $A$ делит сторону: а) $B C$ на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) $D C$ на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

Решение

а) Биссектриса пересекает в точке . Так как и , то , треугольник равнобедренный: .

см.

Возможны два случая.

см, тогда см:
см.
см, тогда см:
см.

б) Биссектриса пересекает в точке . Так как , треугольник равнобедренный: .

дм.

дм, тогда дм:
дм.
дм, тогда дм:
дм.

💡 Почему так

Биссектриса прямого угла образует со стороной угол , поэтому отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник. Какой из двух отрезков прилегает к вершине (или ), в условии не указано, поэтому получаются два случая.

Ответ

а) , см (если см) или , см (если см);
б) , дм (если дм) или , дм (если дм).

№

Диагонали прямоугольника

Диагонали прямоугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что треугольники $A O D$ и $A O B$ равнобедренные.

Решение

Диагонали прямоугольника равны: .
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: , .
Так как , то .

Тогда в треугольнике : , в треугольнике : . Оба треугольника равнобедренные.

Ответ

Доказано: и , поэтому треугольники и равнобедренные.

№

Периметр треугольника в прямоугольнике

В прямоугольнике $A B C D$ диагонали пересекаются в точке $O$ . Найдите периметр треугольника $A O B$ , если $∠ C A D = 3 0^{\circ}$ , $A C = 12$ см.

Решение

Здесь точки и лежат на одной стороне, .

В прямоугольном треугольнике угол , значит, катет лежит против угла и равен половине гипотенузы: см.
см.
Диагонали равны и делятся точкой пополам: см.
Треугольник имеет стороны см.

см.

Ответ

см

№

Медиана прямоугольного треугольника

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Решение

Пусть в треугольнике угол , — медиана к гипотенузе .

Продлим за точку и отложим . Диагонали и четырёхугольника делятся точкой пополам, поэтому — параллелограмм.
Угол прямой, значит, — прямоугольник (задача ).
Диагонали прямоугольника равны: .
.

Ответ

Доказано: .

№

Ромб с диагональю, равной стороне

В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

Решение

Пусть в ромбе диагональ равна стороне: .

а) Стороны ромба равны: . Значит, , треугольник равносторонний, .
Противоположные углы равны: .
.

б) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов:

диагональ делит угол : , аналогично при вершине ;
диагональ делит угол : , аналогично при вершине .

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому в треугольнике : .

Ответ

а) , , , ;
б) диагонали образуют со сторонами углы и .

Помогло?

Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является…