В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа… (алгебра)

№ Дробь с переставленными цифрами

В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, $\frac{36}{48} = \frac{63}{84}$ ). Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 и начинается с цифр 78.

Решение

Пусть дробь равна , а после перестановки . Тогда

Значит, произведение цифр равно — точный квадрат. Так как , то .

Четырёхзначный квадрат, начинающийся с , должен лежать между и , но и , поэтому таких нет. Остаётся трёхзначный квадрат: — единственный квадрат, который начинается с (между и только ).

Тогда . Это возможно, например, при , : , произведение цифр .

💡 Почему так

Равенство дробей после перестановки сводится к , поэтому произведение четырёх цифр — квадрат.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Площадь треугольника по расстояниям от ортоцентра

В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 5, $73$ и 3 соответственно. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Пусть — точка пересечения высот, , , высота из вершины на сторону , .

В прямоугольных треугольниках и :

Треугольник остроугольный, значит лежит между и и .

Для ортоцентра (из подобия треугольников и ):

Площадь:

💡 Почему так

Треугольники и подобны (прямоугольные, углы и равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), поэтому .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Корни квадратных трёхчленов

Даны квадратные трёхчлены $f_{1} = a x^{2} + b x + c$ , $f_{2} = b x^{2} + c x + a$ , $f_{3} = c x^{2} + a x + b$ . Найдите сумму корней трёхчлена $f_{3}$ , если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена $f_{1}$ к отрицательному корню трёхчлена $f_{2}$ равно $\frac{12}{49}$ и $a + b + c = 0$ . Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Так как , число — корень каждого из трёхчленов. По теореме Виета другие корни:

Корень положителен, поэтому отрицательные корни — это и . Условие:

Разделим всё на : пусть , тогда . Условия отрицательности: и , то есть .

\displaystyle {}=\frac{}{}\

Оба значения лежат в .

Сумма корней равна .

💡 Почему так

Если , то — корень трёхчленов, а второй корень находится по теореме Виета.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Индексы клеток доски

Дана клетчатая доска $101 \times 104$ , размер каждой клетки $1 \times 1$ . Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

Решение

Клетки на расстоянии не больше от данной: сдвиги с . Их вместе с самой клеткой (в строке , в соседних строках по , в двух крайних по ), без неё — . Это индекс клетки внутри доски.

У клеток у края индекс меньше. Считаем число клеток окрестности по столбцам: центральный столбец даёт , соседние столбцы каждый, дальние (на влево и вправо) по одной клетке; здесь — число клеток до краёв (не более ). Получаем индексы (индекс = число клеток окрестности минус ):

Тип клеток	Индекс	Количество клеток
угловые
вдоль края, вторая от угла
вдоль края, дальше
соседние с угловыми по краю ряда
второй ряд от края, у угла
второй ряд от края
вдоль края, третья и дальше
второй ряд, внутри
внутренние

Индексы встречаются только , , , , , . Произведение должно быть степенью одного нечётного простого , значит, все индексы выбранных клеток — степени этого :

: индекс — клетки;
: индекс — клеток;
: индекс — клетки;
: индексов и нет.

Максимум достигается при : берём все клетки с индексом .

💡 Почему так

Каждый индекс выбранной клетки должен быть степенью одного и того же простого числа, поэтому выбираем самый частый подходящий индекс.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Биссектриса и симметрия в треугольнике

В треугольнике $A B C$ ( $B C > A B$ ) проведена биссектриса $B L$ . Пусть $D$ — точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $B L$ . Прямая, проходящая через точку $D$ параллельно $B L$ , пересекает сторону $A C$ в точке $E$ . Найдите отношение $A B : B C$ , если $C E : E A = 1 : 8$ .

Решение

Пусть , , . При симметрии относительно биссектрисы луч переходит в луч , поэтому лежит на и , .

Так как , в треугольнике по теореме о пропорциональных отрезках

По свойству биссектрисы , откуда . Тогда

\displaystyle {}=\frac\

\displaystyle {}=c\

💡 Почему так

Точка, симметричная относительно биссектрисы угла , лежит на стороне на расстоянии от .

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно,…