Треугольники АВС и АДС лежат в разных плоскостях… (геометрия)

№ Взаимное расположение прямых, угол между скрещивающимися прямыми

Треугольники АВС и АДС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны АД, точка К – середина ДС.
а) Каково взаимное расположение прямых РК и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми РК и АВ, если угол АВС равен 40°, а угол ВСА = 80°. Ответ обобщите.

Решение

а) В треугольнике отрезок соединяет середины сторон и , значит, это средняя линия: .

Прямая пересекает прямую в точке . Если бы и лежали в одной плоскости, то через и точку проходила бы единственная плоскость, содержащая и , то есть плоскость . Тогда лежала бы в плоскости и точки , лежали бы в ней, а значит, и плоскость совпала бы с , что противоречит условию. Поэтому и не параллельны и не пересекаются, то есть скрещивающиеся.

б) Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными им. Так как , угол между и равен углу .

Сумма углов треугольника :

Обобщение: угол между и всегда равен .

💡 Почему так

Средняя линия параллельна основанию; угол между скрещивающимися прямыми измеряют углом между пересекающимися прямыми, параллельными данным.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) и скрещивающиеся.
б) ; в общем случае угол равен .

№ Прямые в параллельных плоскостях

Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти прямые быть
а) параллельными
б) скрещивающимися? Сделать рисунок для каждого случая.

Решение

Обозначим параллельные плоскости и , , . Общих точек у и нет, так как плоскости не пересекаются.

а) Могут. Если в плоскости провести прямую параллельно , то и лежат в одной плоскости (через две параллельные прямые проходит плоскость) и не пересекаются, значит, .

б) Могут. Если в плоскости провести прямую , не параллельную , то прямые не пересекаются (плоскости не имеют общих точек) и не лежат в одной плоскости: они скрещивающиеся.

💡 Почему так

Прямые в параллельных плоскостях не имеют общих точек, поэтому они либо параллельны (если лежат в одной плоскости), либо скрещиваются.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) Да, могут быть параллельными.
б) Да, могут быть скрещивающимися.

Помогло?

Треугольники АВС и АДС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону…