Точка C лежит на отрезке AB, причём AB : BC = 4… (геометрия)

№

Параллельность прямой и плоскости, пересечение прямой с плоскостью

Точка $C$ лежит на отрезке $A B$ , причём $A B : B C = 4 : 3$ . Отрезок $C D$ , равный 12 см, параллелен плоскости $α$ , проходящей через точку $B$ . Докажите, что прямая $A D$ пересекает плоскость $α$ в некоторой точке $E$ , и найдите отрезок $B E$ .

Решение

Доказательство. Прямая пересекает в точке , значит, . Точка не лежит на прямой (иначе лежала бы на и пересекала в точке ). Проведём плоскость . Она содержит , а , поэтому плоскость пересекает по прямой , проходящей через и параллельной .

В плоскости прямая не параллельна (они пересекаются в ), значит, не параллельна и . Поэтому пересекает в точке , а , то есть пересекает в точке .

Нахождение . , поэтому .

Пусть , . Тогда .

💡 Почему так

Плоскость, проходящая через прямую, параллельную другой плоскости, пересекает её по прямой, параллельной данной. Затем используется подобие треугольников.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

№

Параллельность прямой и плоскости

На сторонах $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ взяты соответственно точки $D$ и $E$ так, что длина отрезка $D E$ равна 5 см и $\frac{B D}{D A} = \frac{2}{3}$ . Плоскость $α$ проходит через точки $B$ и $C$ и параллельна отрезку $D E$ . Найдите длину отрезка $B C$ .

Решение

Плоскость содержит и пересекает плоскость по прямой . Так как , то .

Значит, .

Пусть , , тогда и

💡 Почему так

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

№

Параллельность в пространстве, трапеция

В трапеции $A B C D$ основание $B C$ равно 12 см. Точка $M$ не лежит в плоскости трапеции, а точка $K$ — середина отрезка $B M$ . Докажите, что плоскость $A D K$ пересекает отрезок $M C$ в некоторой точке $H$ , и найдите отрезок $K H$ .

Решение

Доказательство. , а лежит в плоскости , значит, плоскости . Плоскость содержит и имеет с плоскостью общую точку , поэтому пересекает её по прямой , проходящей через параллельно , а значит, и параллельно .

В плоскости прямая, проведённая через середину стороны параллельно , пересекает сторону в точке — середине (теорема Фалеса). Итак, плоскость пересекает отрезок в точке .

Нахождение . — средняя линия треугольника :

💡 Почему так

Прямая, параллельная плоскости, даёт в пересекающей плоскости линию, параллельную ей; затем применяется свойство средней линии треугольника.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

Помогло?