Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно…

Алгебра10 классРешено по фото 13 октября 2026 в 12:36

№ Пары чисел с заданными НОД и НОК

Сколько существует пар натуральных чисел $(a; b)$ , для которых одновременно НОД $(a; b) = 12$ и НОК $(a; b) = 27720$ ? Пары $(a; b)$ и $(b; a)$ при $a \neq = b$ считаются различными.

Решение

Пусть , , где и взаимно просты.

Так как , получаем:

Разложим на простые множители:

Все пять простых множителей различны. Числа и должны быть взаимно просты, поэтому каждый простой множитель целиком достаётся либо , либо . Для каждого из множителей есть варианта:

Пары упорядоченные, и случай невозможен (так как ), поэтому все пары различны.

💡 Почему так

Если НОД, то , с взаимно простыми , , а . Каждый простой множитель этого произведения целиком уходит в одно из чисел.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото

Решить своё по фото