Сколькими способами можно разрезать изображённую… (математика)

№ Разрезание фигуры на доминошки

Сколькими способами можно разрезать изображённую фигуру на прямоугольники $1 \times 2$ или $2 \times 1$ ?

Решение

Пронумеруем строки сверху вниз, а клетки в строке слева направо. Всего в фигуре клетки. Начнём с клеток, у которых есть только один сосед.

Самая верхняя клетка граничит только с клеткой под ней. Они образуют вертикальный прямоугольник.
Левая клетка в -й строке (левый «выступ») граничит только с соседней справа. Они образуют горизонтальный прямоугольник.
Нижняя правая клетка граничит только с клеткой слева от неё. Они образуют горизонтальный прямоугольник.
Правая клетка -й строки (правый «выступ») граничит только с клеткой над ней, а в -й строке под ней нет клеток. Эти две клетки образуют вертикальный прямоугольник.

После этого фигура распадается на две части, которые соединены лишь одной клеткой-«шейкой». Если через неё провести прямоугольник, то в каждой части останется нечётное число клеток, и разрезать их будет нельзя. Поэтому части режутся независимо, и по клеток остаётся в каждой.

Верхняя часть. Это блок и две клетки над его левыми столбцами.

Две верхние клетки лежат горизонтально. Остаётся блок , а его можно разрезать способами.
Верхние клетки лежат вертикально. Тогда оставшиеся клетки режутся единственным способом.

Итого: способа.

Нижняя часть. Она устроена так же: блок и две клетки под ним.

Нижние две клетки лежат горизонтально: способа.
Нижние две клетки лежат вертикально: способ.

Итого: способа.

Способы в верхней и нижней частях выбираются независимо, поэтому перемножаем:

💡 Почему так

Начинаем с клеток, у которых один сосед, — их разрезание определено однозначно. Когда части фигуры не зависят друг от друга, числа способов перемножают.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Сколькими способами можно разрезать изображённую фигуру на прямоугольники 1 × 2…