Сколькими способами следующую фигуру можно… (математика)

Разрезание фигуры на полоски на треугольной сетке

Сколькими способами следующую фигуру можно разрезать на полоски такого вида? Полоски можно поворачивать и переворачивать. Способы считаются разными, если хотя бы одна из линий разреза проходит по-другому. (Полоска — параллелограмм из 4 маленьких треугольников сетки со сторонами 1 и 2. Фигура нарисована по линиям треугольной сетки.)

Решение

Разобьём фигуру на горизонтальных ряда треугольников. В них , , и клеток, всего треугольников, то есть полосок.

Верхний ряд ( треугольников). Крайний левый треугольник может быть покрыт только двумя способами:

горизонтальной полоской из треугольников верхнего ряда;
наклонной полоской, которая идёт вниз во второй ряд.

Крайний правый треугольник верхнего ряда тоже покрывается двумя способами.

Горизонтальные полоски слева и справа пересекаются, поэтому остаются варианта:

слева горизонтальная, справа наклонная;
слева наклонная, справа горизонтальная;
обе крайние наклонные, а два средних треугольника покрываются третьей наклонной полоской.

Так получается способа разрезать верхний ряд.

Нижний ряд ( треугольников). Он симметричен верхнему по возможным вариантам. Его концы покрываются горизонтальной полоской либо наклонной, уходящей вверх в третий ряд. Снова способа.

Середина. Что бы ни было выбрано сверху и снизу, оставшиеся клетки второго и третьего рядов разрезаются единственным способом: только горизонтальными полосками по треугольника. Любая наклонная полоска в середине оставляет одиночный треугольник, который покрыть нельзя.

Всего способов: .

💡 Почему так

Крайние треугольники ряда можно покрыть только двумя способами, поэтому разрезание сверху и снизу выбирается из вариантов, а середина определяется однозначно.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Сколькими способами следующую фигуру можно разрезать на полоски такого вида?…