Сколькими способами можно разделить отрезок длины 49 на 4 отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было сложить четырёхугольник?
Пусть три равных отрезка имеют длину
-
Длины натуральные:
, значит , . Итак, . Равенство невозможно, так как не имеет целых решений. -
Четырёхугольник существует тогда и только тогда, когда самая длинная сторона меньше суммы трёх остальных.
-
Если самый длинный отрезок
(то есть ), то выполняется всегда. Условие : , , . Значит, подходят. -
Если самый длинный отрезок
(то есть , ), нужно : Значит,
подходят.
- Итого
. Проверка краёв: , , — верно; , , — четырёхугольник не получится; , : — верно.
Соответствующие наборы: (
Четырёхугольник со сторонами заданной длины существует, если наибольшая сторона строго меньше суммы остальных трёх. Каждое значение
