Саша нарисовал на плоскости два квадрата с различными вершинами (рис. 9). Докажите, что Оля всегда сможет провести прямую так, чтобы в обеих полуплоскостях относительно этой прямой оказывалось одинаковое количество вершин каждого из квадратов.
Рисунок на фото не соответствует условию: на нём
Ключевое свойство. Квадрат центрально симметричен относительно своего центра, и вершины разбиваются на две пары противоположных, симметричных относительно центра. Пусть прямая проходит через центр квадрата и не содержит его вершин. Тогда симметрия относительно центра переводит эту прямую в себя и меняет полуплоскости местами. Поэтому каждая вершина лежит в одной полуплоскости, а противоположная ей — в другой. Значит, в каждой полуплоскости ровно
Случай
Случай
- Если на
нет вершин, она проходит через оба центра. По ключевому свойству в каждой полуплоскости по вершины первого квадрата и по вершины второго. - Если на
есть вершины, то это концы диагонали (одной или обеих), а оставшиеся вершины делятся пополам по обе стороны от . Слегка повернём вокруг точки , лежащей на внутри каждой из диагоналей, лежащих на . Такая точка существует: если диагонали лежат на у обоих квадратов, они пересекаются по общему участку, а при диагонали только у одного квадрата берём любую внутреннюю точку. Концы диагонали (или диагоналей) теперь окажутся по разные стороны от прямой. Остальные вершины остаются там же, где были, так как поворот мал. Снова в каждой полуплоскости по вершины каждого квадрата.
Итак, нужная прямая всегда существует.
Центральная симметрия квадрата делит его вершины поровну любой прямой, проходящей через центр и не содержащей вершин. Поэтому достаточно взять прямую через оба центра (или любую через общий центр).
Доказано: прямая через центры квадратов (при совпадении центров — любая прямая через общий центр, не содержащая вершин) оставляет в каждой полуплоскости по
