Четыре прямые разбивают плоскость на 11 частей. Всегда ли можно раскрасить все части в чёрный и белый цвет так, чтобы никакие две соседние части не были окрашены в один цвет?
- Плоскость, разбитую любым конечным числом прямых, всегда можно правильно раскрасить в
цвета (так, чтобы любые две части с общей границей имели разные цвета). - Это доказывается методом математической индукции по числу прямых
:
- База: для
вся плоскость красится в один цвет (например, белый). - Шаг: пусть для
прямых плоскость уже правильно раскрашена. Проведём -ю прямую. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из полуплоскостей оставим цвета всех частей без изменений, а в другой изменим цвета всех частей на противоположные (белый заменим на чёрный, чёрный — на белый). - Тогда две части, лежащие по одну сторону от новой прямой, сохраняют противоположность цветов вдоль их общей границы. Две части, разделённые участком новой прямой, до её проведения были одной частью (одного цвета), а после инверсии цветов с одной стороны прямой стали иметь противоположные цвета.
- Таким образом, правильная раскраска в два цвета возможна для любого числа прямых и при любом их расположении (независимо от того, сколько частей получилось — в данном случае
).
Всегда
Саша нарисовал на плоскости два квадрата с различными вершинами (рис. 9). Докажите, что Оля всегда сможет провести прямую так, чтобы в обеих полуплоскостях относительно этой прямой оказывалось одинаковое количество вершин каждого из квадратов.
- Обозначим центры данных квадратов через
и . Любая прямая, проходящая через центр квадрата и не проходящая через его вершины, делит плоскость так, что по каждую сторону от неё оказывается ровно по вершины этого квадрата (так как центр является центром симметрии квадрата, и вершины разбиваются на пары симметричных относительно центра точек: если точка лежит в одной полуплоскости, то симметричная ей — в противоположной). - Случай
: центры и не совпадают.
Проведём прямую через эти две точкии . Всего у двух квадратов вершин. На прямой может лежать не более двух вершин квадрата (если это диагональ). Если на прямой не лежит ни одна из вершин обоих квадратов, то эта прямая разбивает вершины каждого квадрата пополам: в каждой полуплоскости окажется ровно по вершины первого квадрата и ровно по вершины второго квадрата.
Если же прямаяпроходит через какие-то вершины квадратов, достаточно слегка повернуть эту прямую на малый угол вокруг подходящей точки (или сместить её параллельно на достаточно малое расстояние), чтобы она перестала проходить через вершины, но не пересекла ни одну из них, оставив по обе стороны ровно по вершины каждого квадрата. - Случай
: центры и совпадают ( ).
Через точкуможно провести прямую, которая не содержит ни одной из вершин квадратов (так как вершин конечное число, а прямых через точку бесконечно много). Любая такая прямая делит вершины каждого квадрата на две пары, лежащие в противоположных полуплоскостях.
Доказано, что прямая, проходящая через центры обоих квадратов (при необходимости слегка повернутая на малый угол, чтобы не содержать вершин), делит вершины каждого квадрата поровну (по
В плоской арбузной дольке ровной треугольной формы оказалось 16 семечек (рис. 10). Можно ли тремя прямыми разрезами поделить дольку так, чтобы в каждой части было по две семечки?
- Найдём максимальное количество частей, на которое
прямые могут разделить плоскую фигуру. - Одна прямая делит треугольник максимум на
части.
Вторая прямая может пересечь первую прямую внутри треугольника и добавить ещёчасти:
Третья прямая может пересечь первые две прямые внутри треугольника и добавить ещёчасти:
- Таким образом, тремя прямыми линиями треугольник можно разделить максимум на
частей. - Чтобы в каждой части оказалось по
семечки, число частей должно быть:
- Так как
, получить частей тремя прямыми разрезами невозможно.
Нельзя
Миша провёл прямую и отметил точку A, не лежащую на ней. Начиная из точки A, Миша стал проводить отрезки, не отрывая карандаш от бумаги и каждый раз пересекая отрезком прямую. В конце концов он завершил эксперимент, вернувшись в исходную точку A. Мог ли Миша провести 2023 отрезка?
- Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
- Каждый отрезок пересекает эту прямую, а значит, переходит из одной полуплоскости в другую.
- Следовательно, с каждым проведённым отрезком положение текущей точки меняет полуплоскость:
- после
-го отрезка — в другой полуплоскости (отличной от полуплоскости точки ); - после
-го отрезка — снова в полуплоскости точки ; - после нечётного числа отрезков конец пути всегда лежит в полуплоскости, противоположной полуплоскости точки
; - после чётного числа отрезков конец пути лежит в той же полуплоскости, что и точка
.
- Поскольку Миша завершил путь в исходной точке
, общее число сделанных переходов (отрезков) обязано быть чётным. - Число
является нечётным, следовательно, после отрезков Миша не мог оказаться в точке .
Не мог
Постройте три прямые и отрезки AB, BC, CD и DA так, чтобы концы отрезков не лежали на прямых, каждую прямую пересекал хотя бы один отрезок и каждый отрезок пересекал ровно 2 прямых. Сколько получилось точек пересечения между прямыми и отрезками?
- Отрезки
, , , образуют замкнутый четырёхугольник (четырёхзвенную замкнутую ломаную). - По условию каждый из
отрезков пересекает ровно прямые. - Так как отрезков всего
, а каждый пересекает прямые в двух точках, суммарное число точек пересечения прямых с отрезками равно:
- Проверим возможность такого построения:
- Пусть
— ромб с вершинами , , , . - Проведём две горизонтальные прямые
и , а также одну вертикальную прямую . - Горизонтальная прямая
пересекает отрезки и . - Горизонтальная прямая
пересекает отрезки и . - Вертикальная прямая
пересекает звенья в окрестности вершин (или сместим вертикальную прямую, либо используем три параллельные прямые). - Проще взять три параллельные прямые
, пересекающие четырёхугольник: чтобы каждый отрезок пересекал ровно прямые, достаточно, чтобы противоположные вершины лежали по разные стороны от системы полос, например, прямые пересекают пары смежных сторон.
В любом случае, число точек пересечения определяется однозначно произведением числа отрезков на число пересечений каждого отрезка:.
По одну сторону от прямой отметили четыре точки, а по другую — пять. Сколько отрезков с концами в этих девяти точках пересекает прямая? Сколько из них не пересекает?
- Всего имеется
точек. - Прямая пересекает отрезок тогда и только тогда, когда его концы лежат по разные стороны от прямой.
Число способов выбрать один конец в первой полуплоскости (източек) и второй конец во второй полуплоскости (из точек) равно:
- Прямая не пересекает отрезок, если оба его конца лежат по одну сторону от прямой.
- Количество отрезков с обоими концами в первой группе из
точек:
- Количество отрезков с обоими концами во второй группе из
точек:
- Всего непересекающих отрезков:
(Общее число отрезков:, из них ).
Пересекает:
Отрезок AB пересекает отрезок CD, причём точки A и B не лежат на прямой CD. Точки M и N — середины отрезков AC и BD. Докажите, что отрезок MN пересекает прямую CD.
- Так как отрезок
пересекает отрезок , точки и лежат в разных полуплоскостях относительно прямой . - Введём декартову систему координат так, чтобы прямая
совпадала с осью абсцисс ( ). - Так как
и лежат по разные стороны от прямой , их ординаты имеют строго противоположные знаки:
- Пусть
, тогда .
- Точки
и лежат на прямой , следовательно, их ординаты равны нулю:
- Найдём ординаты середин отрезков
и :
- Точка
— середина отрезка :
- Точка
— середина отрезка :
- Ординаты точек
и имеют разные знаки ( и ). - Это означает, что точки
и лежат по разные стороны от прямой . Следовательно, отрезок пересекает прямую .
Доказано: так как точки
