Самостоятельная работа (с последующей проверкой).
1 вариант:
Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N, P.
- Тетраэдр: точка M лежит на боковом ребре, точки N и P лежат на сторонах основания.
- Прямоугольный параллелепипед (куб): точки M и N лежат на рёбрах нижнего основания, точка P — на вертикальном ребре.
- Тетраэдр: точка M лежит на вершине/боковом ребре, точка N лежит на боковом ребре, точка P лежит на ребре основания.
Пусть основание тетраэдра —
Точка
- Точки
и лежат в плоскости грани , соединяем их отрезком . - Точки
и лежат в плоскости основания , соединяем их отрезком . - Прямая
лежит в плоскости основания и пересекает ребро (или прямую ) в точке . - Точки
и лежат в плоскости грани . Соединяем точку с точкой . Отрезок прямой пересекает ребро в некоторой точке . - Соединяем точки
и в грани .
Искомое сечение — четырёхугольник(если прямая пересекает отрезок , то треугольник ). Поскольку точки и лежат на рёбрах основания, сечение плоскостью проходит через , , .
Точка
- Точки
и лежат в плоскости нижней грани , соединяем их отрезком . - Точки
и лежат в плоскости правой боковой грани , соединяем их отрезком . - Плоскость верхней грани параллельна плоскости нижней грани, поэтому плоскость сечения пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной
, проходящей через след секущей плоскости. - Прямая
пересекает ребро или его продолжение. В грани проводим прямую через полученную точку и точку . - Соединяем полученные следы на гранях. Получаем многоугольник сечения.
Точка
- Соединяем точки, лежащие в одной грани.
- Находим следы секущей плоскости на рёбрах многогранника с помощью метода следов (пересечение прямых сечения с прямыми, содержащими рёбра основания).
- Соединяем полученные точки пересечения по граням многогранника.
- Четырёхугольник
(или треугольник ), полученный пересечением секущей плоскости с гранями тетраэдра методом следов. - Многоугольник сечения, построенный соединением отрезков
и в соответствующих гранях и проведением параллельных следов на противоположных гранях параллелепипеда. - Треугольник или четырёхугольник сечения, полученный нахождением следа секущей плоскости в плоскости основания и соединением точек пересечения с рёбрами.
Самостоятельная работа (с последующей проверкой).
2 вариант:
Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N, P.
- Тетраэдр: точка M на боковом ребре, точка N на боковом ребре, точка P внутри/на ребре основания.
- Прямоугольный параллелепипед: точки M,N,P на различных рёбрах многогранника.
- Тетраэдр: точки M,N,P расположены на рёбрах пирамиды.
Общий алгоритм построения сечений методом следов:
- Найти две точки, лежащие в плоскости одной и той же грани многогранника, и провести через них прямую.
- Найти точку пересечения этой прямой с прямой, содержащей общее ребро с соседней гранью (след секущей плоскости).
- Соединить найденную точку с точкой сечения, лежащей в этой соседней грани.
- Выделить отрезки прямых, лежащие на поверхностях граней многогранника. Они образуют стороны искомого многоугольника (сечения).
Искомые сечения строятся методом следов: соединяются точки, лежащие в одной грани, находятся точки пересечения полученных прямых с рёбрами основания/граней, и достраиваются отрезки сечений по всем пересекаемым граням.
