Прямые a и b пересекаются в точке O, A a, B b,… (геометрия)

С-.Аксиомы стереометрии, принадлежность точки плоскости

Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$ , $A \in a$ , $B \in b$ , $Y \in AB$ . Докажите, что прямые $a$ и $b$ и точка $Y$ лежат в одной плоскости.

Решение

Через две пересекающиеся прямые и проходит плоскость , и притом только одна.
, а , значит . Аналогично , значит .
Две точки и прямой лежат в плоскости , поэтому вся прямая лежит в .
, значит .

Итак, прямые , и точка лежат в плоскости .

💡 Почему так

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Ответ

Доказано: , и лежат в одной плоскости .

С-.Линия пересечения плоскостей

Даны пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$ . Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и пересекает плоскость $\beta$ в точке $A$ . Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ и пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$ . Докажите, что $AB$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ .

Решение

и , значит . Также , так как пересекает в точке . Значит, — общая точка плоскостей и .
и , значит . Также , так как пересекает в точке . Значит, — тоже общая точка.
Точки и различны. Две различные общие точки плоскостей определяют прямую , и она лежит и в , и в .
Пересекающиеся плоскости имеют ровно одну общую прямую, поэтому — линия их пересечения.

💡 Почему так

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Прямая через две общие точки и есть линия пересечения.

Ответ

Доказано: .

С-.Взаимное расположение прямых в пространстве

На рисунке 5 плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $EF$ . Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна $EF$ . В плоскости $\beta$ через точку $C$ проведите прямую так, чтобы она:

пересекала прямую $AB$ ;
была скрещивающейся с прямой $AB$ ;
была параллельна прямой $AB$ .

Решение

Прямая , а , поэтому : у прямой нет общих точек с плоскостью . Значит, никакая прямая плоскости не может пересечь . Такую прямую провести нельзя.

Возьмём на точку и проведём в прямую (она не параллельна ). Она пересекает плоскость в точке , которая не лежит на , так как , а . По признаку скрещивающихся прямых и скрещиваются.

В плоскости проведём через прямую . Так как , то (две прямые, параллельные третьей, параллельны).

💡 Почему так

Прямая, параллельная прямой плоскости, параллельна и самой плоскости, поэтому она не пересекает ни одну прямую этой плоскости.

Ответ

такая прямая не существует, так как ;
прямая , где (не параллельная );
прямая через , параллельная .

С-.Параллельность прямых в пространстве

На рисунке 6 $A_1C_1 = AC$ , $A_1C_1 \parallel AC$ , $A_1B_1 = AB$ , $A_1B_1 \parallel AB$ . Докажите, что $CC_1 \parallel BB_1$ .

Решение

В четырёхугольнике стороны и равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Поэтому .
В четырёхугольнике стороны и равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Поэтому .
Прямые и параллельны одной прямой , следовательно, .

💡 Почему так

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Четырёхугольник с двумя равными и параллельными сторонами — параллелограмм.

Ответ

Доказано: .

С-.Параллельность прямой и плоскости

Точки $E$ и $F$ принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ , причем $BE : EA = 2 : 3$ . Через эти точки проведена плоскость, параллельная $AC$ . Найдите отношение $BF : FC$ .

Решение

Плоскость проходит через и и параллельна . Она пересекает плоскость по прямой .
Прямая лежит в плоскости и параллельна плоскости , поэтому .
По теореме Фалеса (или из подобия ):

💡 Почему так

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой.

Ответ

С-.Признак параллельности прямой и плоскости

В плоскости $\alpha$ выбраны точки $A$ и $B$ . С концами в этих точках проведены в одном направлении от плоскости $\alpha$ равные и параллельные между собой отрезки $AA_1$ и $BB_1$ . Докажите, что $A_1B_1 \parallel \alpha$ .

Решение

и , отрезки направлены в одну сторону. Значит, — параллелограмм, и .
.
Прямая не лежит в , так как .
По признаку параллельности прямой и плоскости: прямая не лежит в и параллельна прямой из , значит, .

💡 Почему так

Признак: если прямая вне плоскости параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Ответ

Доказано: .

Помогло?