ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 861

№

Теорема Чевы для двух точек пересечения

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $P$ и $E$ , а на стороне $BC$ — точки $M$ и $K$ , причём $AP:PE:EC=CK:KM:MB$ . Отрезки $AM$ и $BP$ пересекаются в точке $O$ , а отрезки $AK$ и $BE$ — в точке $T$ . Докажите, что точки $O$ , $T$ и $C$ лежат на одной прямой.

Решение

Дано: и идут в указанном порядке; ; , .

Доказать: коллинеарны.

Введём положительные числа , пропорциональные трём частям сторон: . Тогда сложением соседних частей получаем

Здесь записи означают отношения в одной и той же условной единице на каждой стороне; длины и могут быть разными, но в дробях каждой стороны масштаб сокращается.
Проведём луч до пересечения с в . В треугольнике прямые , , пересекаются в точке . По прямой теореме Чевы (п. )

Подставим отношения из шага :
Аналогично проведём луч до пересечения с в . Для конкурентных , , теорема Чевы даёт

После подстановки получаем
Точки и лежат на одном отрезке и делят его в одном отношении. По единственности деления отрезка в заданном отношении . Значит, прямые и совпадают; точки лежат на одной прямой. Утверждение доказано.

Ответ

Точки , и лежат на одной прямой.

Помогло?

Номер 861