ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 860

№

Теорема Чевы и степень точки

Окружность пересекает сторону $BC$ треугольника $ABC$ в точках $A_1$ и $A_2$ , сторону $AC$ — в точках $B_1$ и $B_2$ , сторону $AB$ — в точках $C_1$ и $C_2$ . Докажите, что отрезки $AA_1$ , $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки $AA_2$ , $BB_2$ и $CC_2$ пересекаются в одной точке.

Решение

Дано: одна окружность пересекает три стороны треугольника в указанных парах точек.

Доказать равносильность двух условий пересечения.

Для точки секущие и пересекают одну окружность. По теореме о произведениях отрезков секущих (степень точки) .
Применим ту же теорему к двум секущим из , а затем из :
По теореме Чевы (п. ) для отрезков с индексом условие пересечения в одной точке имеет вид

Все знаменатели ненулевые, так как точки окружности лежат внутри сторон.
Перемножим выражения для и и сгруппируем множители по вершинам. Используя три равенства из шагов –, находим
Так как и , равенства и равносильны. По теореме Чевы это и есть требуемая равносильность условий для двух троек отрезков.

Ответ

Конкурентность равносильна конкурентности .

Помогло?

Номер 860