Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и… (геометрия)

Взаимное расположение прямых в параллельных плоскостях

Прямые $a$ и $b$ лежат в параллельных плоскостях $α$ и $β$ . Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

Решение

Параллельные плоскости и не имеют общих точек, поэтому прямые и не могут пересекаться. Остаются два случая: они параллельны или скрещиваются.

а) Да. Если и лежат в одной плоскости и не пересекаются, они параллельны. Для этого возьмём в прямую и проведём через неё и любую точку плоскости плоскость . Она пересекает по прямой , и , так как .

б) Да. Если и не лежат в одной плоскости и не пересекаются, они скрещиваются. Для этого возьмём в прямую , не параллельную . Общих точек у них нет, так как плоскости не пересекаются. Прямые не параллельны, значит, они скрещиваются.

💡 Почему так

Прямые в параллельных плоскостях не пересекаются. Поэтому они либо параллельны, либо скрещиваются.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) да, могут; б) да, могут.

№

Отрезки прямых между параллельными плоскостями

Через точку $O$ , лежащую между параллельными плоскостями $α$ и $β$ , проведены прямые $l$ и $m$ . Прямая $l$ пересекает плоскости $α$ и $β$ в точках $A_{1}$ и $A_{2}$ соответственно, прямая $m$ — в точках $B_{1}$ и $B_{2}$ . Найдите длину отрезка $A_{2} B_{2}$ , если $A_{1} B_{1} = 12$ см, $B_{1} O : O B_{2} = 3 : 4$ .

Решение

Прямые и пересекаются в точке , поэтому лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым, значит .

Треугольники и подобны: углы при вертикальные, как накрест лежащие. Тогда

💡 Почему так

Плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, даёт параллельные линии пересечения. Отсюда подобие треугольников.

Ответ

✓ dzmen.ru

см

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Изобразите параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $M$ , $N$ и $K$ , являющиеся серединами рёбер $A B$ , $B C$ и $D D_{1}$ .

Решение

Построение:

Точки и лежат в плоскости основания . Проводим прямую . Она пересекает прямые и в точках и (за точками и ). Поскольку — средняя линия треугольника , то . Из подобия треугольников и получаем , то есть . Так же .
Точки и лежат в плоскости . Проводим и находим точку . Из подобия треугольников и имеем .
Точки и лежат в плоскости . Проводим и находим точку . Аналогично .
Соединяем последовательно точки в гранях параллелепипеда.

Пятиугольник — искомое сечение.

💡 Почему так

Сторону сечения в грани строят по двум точкам этой грани. Если точки лежат в разных гранях, прямую продолжают до пересечения со следом в плоскости основания.

Ответ

✓ dzmen.ru

Сечение — пятиугольник , где (), ().

Помогло?

Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Могут…