Провести сечение куба плоскостью через точки P… (геометрия)

Сечение куба плоскостью через три точки

Провести сечение куба плоскостью через точки P, Q, R. P принадлежит ребру $A A_{1}$ , $A P = P A_{1}$ . Q принадлежит $A_{1} B_{1}$ . R принадлежит $B C$ , $B R = R C$ .

Решение

В условии не сказано, где именно на лежит точка Q, поэтому берём её произвольно, ближе к . Построение от этого выбора не зависит.

Шаги построения:

Точки P и Q лежат в грани . Соединяем их: PQ — сторона сечения.
Точки Q и T лежат в грани . Продолжаем PQ до пересечения с прямой в точке X. Из подобия треугольников и (при ) получаем , то есть X лежит на продолжении за точку A.
X и R лежат в плоскости основания . Прямая XR пересекает ребро в точке S. Отрезок RS — сторона сечения в основании.
Точки S и P лежат в грани . Соединяем их: SP — сторона сечения.
Продолжаем PQ до пересечения с прямой в точке Y. Точки Y и R лежат в грани . Прямая YR пересекает ребро в точке T. Отрезки QT (в верхней грани) и TR (в грани ) — стороны сечения.
Получаем пятиугольник .

Для проверки возьмём сторону куба и введём координаты: , , , . Тогда , , . Плоскость сечения пересекает рёбра и в точках и . Остальные рёбра она не пересекает.

💡 Почему так

Сторона сечения строится в грани, если в ней лежат две точки сечения. Если нужной точки на ребре нет, продолжают прямую сечения до пересечения с прямой, лежащей в той же плоскости (здесь и ), и через эту точку проводят следующую сторону.

Ответ

Сечение — пятиугольник : S лежит на ребре , T лежит на ребре . Стороны: PQ, QT, TR, RS, SP.

Помогло?

Провести сечение куба плоскостью через точки P, Q, R. P принадлежит ребру…