№ Факториалы, целые значения выражения
При каких натуральных значениях n значение выражения ((n+1)!2−n!3):(n!5−(n+1)!4n) является целым числом?
Указание: n!=1⋅2⋅3⋯n, 3!=1⋅2⋅3=6
Решение
Так как , приводим дроби в скобках к общему знаменателю .
Первая скобка:
Вторая скобка:
Делим:
Выделяем целую часть:
Число целое, когда делит . Делители : , , , . Так как , то , подходят и .
, : .
, : .
💡 Почему так
Выражение упрощается до . Оно целое, только если — делитель числа , а при натуральном это число не меньше .
