Постройте сечения, проходящие через указанные точки. (Вариант II.) Тетраэдр, точки M, N, K: M лежит на боковом ребре SA, N и K — вершины основания.
Обозначим вершины тетраэдра: S — верхняя, A — левая, K — правая, N — передняя. Точка M лежит на ребре SA.
- Точки M и N лежат в грани SAN. Проводим отрезок MN.
- Точки N и K лежат в основании и в грани SNK. Проводим отрезок NK.
- Точки M и K лежат в грани SAK. Проводим отрезок MK (он на невидимой грани, поэтому пунктиром).
Стороны MN, NK, KM лежат в гранях тетраэдра, поэтому сечение замкнуто.
Сечение — многоугольник, стороны которого лежат в гранях. Если две точки лежат в одной грани, их соединяют отрезком.
Сечение — треугольник MNK.
Постройте сечения, проходящие через указанные точки. (Вариант II.) Тетраэдр SABC, точки M, N, K: M лежит на ребре SA, N — на ребре SC, K — на ребре CB.
Обозначим вершины: S — верхняя, A — левая, B — правая, C — передняя.
- M и N лежат в грани SAC. Проводим MN и продолжаем эту прямую до пересечения с прямой AC в точке P.
- P лежит на прямой AC, значит, в плоскости основания ABC. K тоже лежит в основании. Проводим прямую PK; она пересекает ребро AB в точке Q.
- Q и M лежат в грани SAB. Проводим QM.
- N и K лежат в грани SCB. Проводим NK.
Получаем четырёхугольник MNKQ.
Прямая в плоскости сечения, продолженная до пересечения с прямой в плоскости основания, даёт след сечения на основании. Точка пересечения следа с ребром основания — вершина сечения.
Сечение — четырёхугольник MNKQ, где Q — точка пересечения прямой PK с ребром AB, а P = MN ∩ AC.
Постройте сечения, проходящие через указанные точки. (Вариант II.) Куб, точки M, K, N: M лежит на верхнем заднем ребре, K — на правом заднем вертикальном ребре, N — на нижнем переднем ребре.
Обозначим вершины куба: ABCD — нижняя грань (A — переднее левое основание, B — переднее правое, C — заднее правое, D — заднее левое), EFGH — верхняя грань (E над A, F над B, G над C, H над D). Тогда M лежит на ребре HG, K — на ребре CG, N — на ребре AB.
- M и K лежат в задней грани DCGH. Проводим прямую MK и продолжаем её до пересечения с прямой DC в точке P (за точкой C).
- N и P лежат в плоскости нижнего основания. Проводим прямую NP; она пересекает ребро BC в точке Q.
- Q и K лежат в правой грани BCGF. Проводим отрезок QK.
- Верхняя и нижняя грани параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Через M проводим прямую, параллельную NQ; она пересекает ребро EH в точке R. Проводим MR.
- Передняя и задняя грани параллельны. Через N проводим прямую, параллельную MK; она пересекает ребро AE в точке T. Проводим NT.
- R и T лежат в левой грани AEHD. Проводим RT.
Получаем шестиугольник NQKMRT.
Плоскость сечения пересекает параллельные грани куба по параллельным отрезкам. Это позволяет достроить сечение после нахождения следа на основании.
Сечение — шестиугольник NQKMRT: Q ∈ BC, R ∈ EH, T ∈ AE.
Постройте сечения, проходящие через указанные точки. (Вариант II.) Куб, точки N, M, K: N — верхняя передняя левая вершина, M лежит на верхнем заднем ребре, K — на нижнем переднем ребре.
Обозначим вершины: ABCD — нижняя грань (A — переднее левое основание, B — переднее правое, C — заднее правое, D — заднее левое), верхняя грань NFGH (N над A, F над B, G над C, H над D). M лежит на ребре HG, K — на ребре AB.
- N и K лежат в передней грани ABFN. Проводим NK.
- N и M лежат в верхней грани. Проводим NM.
- Верхняя и нижняя грани параллельны. Через K проводим прямую, параллельную NM; она пересекает ребро BC в точке Q. Проводим KQ.
- Продолжаем NM до пересечения с прямой FG в точке X (за точкой G). X лежит в правой грани BCGF, Q тоже. Проводим прямую XQ; она пересекает ребро CG в точке L. Проводим QL.
- M и L лежат в задней грани DCGH. Проводим ML.
Получаем пятиугольник NMLQK.
След на нижнем основании строят параллельно следу на верхнем. Недостающую вершину находят через точку пересечения продолжения следа с прямой в боковой грани.
Сечение — пятиугольник NMLQK: Q ∈ BC, L ∈ CG.
Постройте сечения, проходящие через указанные точки. (Вариант II.) Четырёхугольная пирамида, точки M, N, K: M лежит на боковом ребре SA, N — на боковом ребре SD, K — на боковом ребре SC.
Обозначим вершины: основание ABCD (A — переднее левое, B — переднее правое, C — заднее правое, D — заднее левое), S — вершина.
- M и N лежат в грани SAD. Проводим прямую MN до пересечения с прямой AD в точке P (за точкой A).
- N и K лежат в грани SDC. Проводим прямую NK до пересечения с прямой DC в точке R (за точкой C).
- P и R лежат в плоскости основания. Прямая PR — след сечения на основании. Она пересекает ребро AB в точке U и ребро BC в точке V.
- Соединяем точки, лежащие в одной грани:
- M и N — в грани SAD;
- N и K — в грани SDC;
- K и V — в грани SBC;
- V и U — в основании;
- U и M — в грани SAB.
Получаем пятиугольник MNKVU.
Если две точки сечения лежат в одной грани, их можно соединить. Продолжения таких отрезков до пересечения с плоскостью основания дают след сечения на основании.
Сечение — пятиугольник MNKVU, где U ∈ AB, V ∈ BC, P = MN ∩ AD, R = NK ∩ DC, а U и V лежат на прямой PR.
