Постройте сечение треугольника пирамиды DABC… (геометрия)

№ Построение сечений тетраэдра

Постройте сечение треугольника пирамиды $D A B C$ плоскостью, проходящей через следующие точки:
а) $B$ , $D$ и середину $M$ ребра $A C$ ;
б) $B$ и середины рёбер $A D$ и $C D$ ;
в) середину $K$ ребра $A D$ и точки $L$ и $M$ , лежащие на продолжениях рёбер $A B$ и $A C$ за точки $B$ и $C$ ;
г) середины рёбер $B C$ , $A D$ и точку $L$ , лежащую на продолжении ребра $A C$ за точку $C$ ;
д) середины $K$ , $L$ и $M$ рёбер $A D$ , $A B$ и $B C$ ;
е) $A$ , $C$ и точку пересечения медиан грани $A B D$ ;
ж) середины рёбер $A D$ , $C D$ и точку $L$ , лежащую на ребре $B C$ , если $B L : L C = 1 : 2$ ;
з) $K$ , $L$ и $M$ , лежащие на рёбрах $A D$ , $A B$ и $B C$ соответственно, если $A K : K D = B L : L A = B M : M C = 1 : 2$ ;
и) точки пересечения медиан граней $A B D$ , $B C D$ и $A B C$ ;
к) середины рёбер $B C$ , $C D$ и точку, лежащую на медиане $D M$ грани $A B D$ .

Решение

Общее правило. Сечение — многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым плоскость пересекает грани. Две точки плоскости сечения, лежащие в одной грани, соединяем отрезком — это сторона сечения. Если две точки в одной грани не лежат, продлеваем прямые до пересечения. В тетраэдре у каждой пары граней есть общее ребро. Если две прямые лежат в одной плоскости и параллельны, то плоскость сечения пересекает эту плоскость по прямой, параллельной им. Ниже невидимые отрезки и вспомогательные линии показаны пунктиром.

а) Точки , , попарно лежат в общих гранях, продлевать ничего не нужно.

— ребро, оно лежит в грани и в грани .
лежит в основании .
лежит в грани .

Сечение — треугольник .

б) Пусть — середина , — середина .

лежит в грани .
лежит в грани .
лежит в грани и является средней линией треугольника , поэтому .

Сечение — треугольник .

в) Продлеваем за до точки и за до точки .

и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке .
и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке .
и лежат в грани , соединяем их.

Сечение — треугольник .

г) Пусть — середина , — середина . Продлеваем за до точки .

и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке .
и лежат в основании . Прямая пересекает ребро в точке .
Соединяем с (грань ), с (грань ).

Сечение — четырёхугольник .

д) , , — середины , , . Проведём , .

— средняя линия треугольника , . — средняя линия треугольника , .
Плоскость пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно . Она пересекает в середине .
(средняя линия треугольника ).

Сечение — параллелограмм .

е) Пусть — точка пересечения медиан грани .

и лежат в грани . Продлеваем до пересечения с : это медиана, она попадает в середину ребра .
и лежат в грани , соединяем их.
— ребро.

Сечение — треугольник .

ж) — середина , — середина , на , .

как средняя линия треугольника . Значит, плоскость сечения пересекает основание по прямой, параллельной .
Через проводим , лежит на . Из подобия .
Соединяем с (грань ) и с (грань ).

Сечение — трапеция с основаниями .

з) , , .

, поэтому . Прямые и не пересекаются, продлевать не нужно.
Плоскость сечения пересекает грань по прямой, параллельной . Через проводим , лежит на , .
Соединяем с (грань ), с (грань ).

Сечение — трапеция .

и) Пусть , , — точки пересечения медиан граней , , .

Медианы и граней и выходят в середину ребра . Точки и делят их в отношении от и , поэтому .
Плоскость сечения пересекает основание по прямой через , параллельной . Точка делит медиану в отношении , поэтому прямая отсекает на и точки и с .
Прямая пересекает в точке с . На этой же прямой лежат , , , а лежит на .

Сечение — треугольник со сторонами, параллельными граням : , , .

к) — середина , — середина , — середина , — точка на медиане .

— средняя линия треугольника , .
Тогда плоскость сечения пересекает грань по прямой, параллельной . Через проводим : лежит на , — на .
Соединяем с (грань ) и с (основание ).

Сечение — трапеция с основаниями .

💡 Почему так

Сечение строят по следам: пересечение плоскости сечения с каждой гранью. Если две точки лежат в одной грани, их соединяют. Если нет, продлевают прямые до пересечения с рёбрами. Если в плоскости есть прямая, параллельная прямой в другой грани, то след в этой грани проводят параллельно ей.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) треугольник .
б) треугольник , .
в) треугольник , где , . Продлевать нужно за и за .
г) четырёхугольник , где , . Продлевать нужно за .
д) параллелограмм , — середина .
е) треугольник , — середина . Продлевать нужно медиану до .
ж) трапеция , , .
з) трапеция , , .
и) треугольник на рёбрах , , на расстоянии ребра от , параллельный грани .
к) трапеция , , , .

Помогло?

Постройте сечение треугольника пирамиды DABC плоскостью, проходящей через…