Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, K.

1. Точка лежит на ребре , точка лежит на ребре , точка лежит на ребре .
2. Найдём точку пересечения прямой с плоскостью нижнего основания :
   • Проекцией точки на плоскость основания является точка .
   • Проекцией точки на ребро является точка (проекция на плоскость основания).
   • Прямая — проекция прямой на плоскость . Пересечение и даёт след секущей плоскости.
3. Проведём прямую через точку параллельно следу или соединим полученные точки:
   • В плоскости передней грани и параллельной ей задней грани сечение пересекает грани по параллельным прямым.
   • Проведём отрезок через точку в грани параллельно следу в грани , либо через точку прямую, параллельную (если они параллельны).
   • Более простой способ: прямая лежит в плоскости правой грани (так как , , но на ребре , а не ). Найдём след прямой : . Так как , точка лежит на прямой : .
   • Соединяем точку с точкой в плоскости основания. Проекция на плоскость основания — . Прямая пересекает плоскость основания в точке (так как , , прямые и лежат в плоскости ).
   • Прямая — след секущей плоскости на плоскости основания . Она пересекает ребро в точке .
   • Соединяем точки сечения по граням: с (в грани или ), с (в грани ), с точкой на ребре или , и замыкаем многоугольник.

1. Точка лежит на ребре , точка лежит на ребре , точка лежит на ребре .
2. Точки и лежат в одной грани , соединяем их отрезком .
3. Прямая лежит в плоскости грани . Продлим до пересечения с прямой в плоскости основания: получаем точку .
4. Прямая лежит в плоскости диагонального сечения или используем метод следов:
   • Проекция точки на плоскость основания — вершина .
   • Проекция точки — вершина .
   • Прямая — проекция прямой на плоскость нижнего основания.
   • Найдём точку пересечения прямой и её проекции : . Точка лежит в плоскости основания.
5. Прямая — след секущей плоскости на плоскости нижнего основания .
6. След пересекает рёбра основания (или их продолжения):
   • Пересечение с даёт точку .
   • Пересечение с даёт точку .
7. Соединяем полученные точки на соответствующих гранях призмы и строим линии сечения на остальных гранях.

В условии опечатка: в тексте задачи написано «пирамиды», но на чертеже изображена четырёхугольная призма (параллелепипед).

1. Точка лежит на переднем левом вертикальном ребре, точка — на верхнем заднем ребре, точка — на правом вертикальном ребре.
2. Проекция точки на плоскость нижнего основания — нижний конец этого ребра ().
3. Проекция точки — нижний конец правого ребра ().
4. Проекция точки на плоскость нижнего основания — точка на соответствующем ребре основания.
5. Найдём точку пересечения прямой с плоскостью основания:
   • Проекция на нижнее основание — прямая .
   • Прямая пересекает свою проекцию в точке следа .
6. Аналогично находим точку пересечения прямой с плоскостью основания:
   • Проекция — прямая .
   • Прямая пересекает в точке следа .
7. Прямая — след секущей плоскости в плоскости основания. Точки пересечения следа с рёбрами основания соединяются с точками и , образуя искомое многоугольное сечение.

1. Точка лежит на вертикальном ребре . Точка лежит на ребре нижнего основания (или вертикальном ребре ). Точка лежит на ребре верхнего основания.
2. Спроектируем точки на плоскость нижнего основания:
   • Проекция точки — вершина .
   • Точка уже принадлежит нижнему основанию (её проекция совпадает с ней самой).
   • Проекция точки — точка на ребре нижнего основания, вертикально под .
3. Прямая лежит в секущей плоскости. Так как лежит в плоскости основания, прямая пересекает плоскость основания непосредственно в точке . Значит, точка является точкой следа секущей плоскости.
4. Найдём вторую точку следа секущей плоскости:
   • Прямая пересекает свою проекцию в плоскости основания в точке .
5. Прямая является следом секущей плоскости на плоскости нижнего основания.
6. Находим точки пересечения следа со сторонами основания призмы, соединяем их с заданными точками на соответствующих гранях и достраиваем полное многоугольное сечение.