Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, P (M лежит на боковом ребре справа, N — на переднем боковом ребре, P — на заднем (штриховом) ребре основания).
Обозначим тетраэдр SABC: S — вершина, AC — задний (штриховой) край основания, B — передняя вершина основания. Тогда M ∈ SC, N ∈ SB, P ∈ AC.
- M и N лежат в грани SBC, проводим отрезок MN.
- M и P лежат в грани SAC, проводим прямую MP. Она лежит в плоскости сечения.
- Прямая MP и прямая SA лежат в одной плоскости SAC и пересекаются в точке X (за вершиной A): X = MP ∩ SA.
- X и N лежат в грани SAB. Проводим прямую XN. Она пересекает ребро AB в точке K.
- Соединяем K с P (грань ABC) и P с M (грань SAC).
Получили четырёхугольник MNKP — искомое сечение.
Сторона сечения — это отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань. Если две точки не лежат в одной грани, продлевают прямую, проведённую в другой грани, до пересечения с прямой ребра. Так находят вспомогательную точку, а через неё и следующую вершину сечения.
Сечение — четырёхугольник MNKP, где K = XN ∩ AB, а X = MP ∩ SA.
Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, P (M лежит на левом верхнем ребре, N — на заднем верхнем ребре, P — на заднем правом вертикальном ребре).
Обозначим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (ABCD — нижнее основание, A — переднее левое). Тогда на чертеже A₁ = E, B₁ = F, C₁ = G, D₁ = H. Точки: M ∈ A₁D₁, N ∈ D₁C₁, P ∈ CC₁.
- M и N лежат в верхней грани, проводим MN.
- N и P лежат в задней грани DCC₁D₁, проводим NP.
- Продолжаем NP до пересечения с прямой DC. Получаем точку Z, а прямая MN пересекает прямую A₁B₁ в точке X. Прямая ZX — след секущей плоскости. Для сечения нужна его вершина на нижнем основании. Плоскость идёт вниз и пересекает ребро BC в точке Q, а P и Q лежат в одной грани BCC₁B₁. Соединяем PQ.
- Прямая MN пересекает прямую A₁B₁ в точке X. Грани ABB₁A₁ принадлежат X, поэтому секущая плоскость идёт по ней вниз. Через Q проводим в нижней грани прямую, параллельную MN (нижняя и верхняя грани параллельны, значит, линии сечения в них параллельны). Она пересекает ребро AB в точке L: QL
MN. - В грани ABB₁A₁ проводим LK, параллельный NP (грани DCC₁D₁ и ABB₁A₁ параллельны). K лежит на ребре AA₁.
- Соединяем K с M (грань ADD₁A₁), проверка: KM
PQ, так как грани ADD₁A₁ и BCC₁B₁ параллельны.
Сечение — шестиугольник MNPQLK. Стороны на задней, левой и нижней гранях невидимы, их проводим штрихом.
Параллельные грани параллелепипеда пересекаются секущей плоскостью по параллельным отрезкам. Это позволяет достроить сечение, построив сначала стороны NP, MN и PQ.
Сечение — шестиугольник MNPQLK, где Q ∈ BC, L ∈ AB, K ∈ AA₁, QL
