Построить сечение куба плоскостью, проходящей… (геометрия)

№

Сечение куба плоскостью через три точки

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, N и P. Точка P лежит на ребре $D D_{1}$ , точка M на ребре $C C_{1}$ , точка N на ребре $A B$ .

Решение

Точки на фото стоят примерно, поэтому положение точек K и L на чертеже приблизительное.

Построение:

M и P лежат в одной грани . Проводим отрезок MP (в тетради пунктиром, грань задняя).
Передняя грань параллельна задней грани . Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Поэтому через N проводим прямую, параллельную MP, до пересечения с ребром в точке L. Отрезок NL лежит в передней грани.
Левая грань параллельна правой грани . Соединяем P с L (отрезок PL лежит в левой грани). Через M проводим прямую, параллельную PL, до пересечения с ребром BC в точке K. Отрезок MK лежит в правой грани.
Соединяем N с K. Отрезок NK лежит в нижнем основании, он невидимый, поэтому пунктир.

Видимые стороны (NL, KM) проводим сплошной линией. Невидимые (NK, MP, PL) проводим пунктиром.

Получаем пятиугольник NKMPL.

💡 Почему так

Если две грани куба параллельны, то секущая плоскость пересекает их по параллельным отрезкам. Это позволяет достроить сечение без продолжения прямых.

Ответ

Сечение — пятиугольник NKMPL, где K лежит на ребре BC, L на ребре , причём NL MP и MK PL.

№

Сечение куба плоскостью через три точки

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, N и P. Точка M лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , точка N на ребре $D_{1} C_{1}$ , точка P на ребре $B B_{1}$ .

Решение

Точки на фото стоят примерно, поэтому положение точки Q на чертеже приблизительное.

Построение:

M и N лежат в верхней грани. Соединяем их отрезком MN (видимый).
M и P лежат в передней грани . Соединяем их отрезком MP (видимый).
Передняя грань параллельна задней грани . Через N проводим прямую, параллельную MP, до пересечения с ребром в точке Q. Отрезок NQ лежит на невидимой задней грани, поэтому пунктир.
Точки P и Q лежат в правой грани . Соединяем их отрезком PQ (видимый).

Получаем четырёхугольник MPQN.

💡 Почему так

Передняя и задняя грани куба параллельны, поэтому стороны сечения MP и NQ в этих гранях параллельны.

Ответ

Сечение — четырёхугольник MPQN, где Q лежит на ребре и NQ MP.

№

Сечение куба плоскостью через три точки

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, N и P. Точка M лежит на ребре $D_{1} C_{1}$ , точка N на ребре $B_{1} C_{1}$ , точка P на ребре $B B_{1}$ .

Решение

Точки на фото стоят примерно, поэтому положение точек R, S, T на чертеже приблизительное.

Построение:

M и N лежат в верхней грани. Проводим MN и продолжаем эту прямую до пересечения с прямой в точке V и с прямой в точке U.
N и P лежат в правой грани. Соединяем их отрезком NP (видимый).
V и P лежат в передней грани. Проводим прямую VP. Она пересекает ребро AB в точке R и ребро в точке W. Отрезок PR видимый.
U и W лежат в левой грани. Проводим прямую UW. Она пересекает ребро в точке T и ребро AD в точке S.
Соединяем T с M (задняя грань, пунктир), S с T (левая грань, пунктир) и R с S (основание, пунктир).

Проверка: верхнее и нижнее основания параллельны, и RS MN. Передняя и задняя грани параллельны, и PR MT. Правая и левая грани параллельны, и NP TS.

Получаем шестиугольник MNPRST.

💡 Почему так

Когда сторона сечения не достраивается напрямую, продолжаем прямые до пересечения с прямыми рёбер. Так находим точки на других гранях. Параллельность сторон в параллельных гранях служит проверкой.

Ответ

Сечение — шестиугольник MNPRST, где R лежит на ребре AB, S на ребре AD, T на ребре , причём RS MN, PR MT, NP TS.

Помогло?

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки M, N и P.…