Построение сечения тетраэдра DABC плоскостью… (геометрия)

№ Построение сечения тетраэдра

Построение сечения тетраэдра $D A B C$ плоскостью, проходящей через точки $E$ , $E_{1}$ , $E_{2}$ , где $E \in B D C$ , $E_{1} \in D B$ , $E_{2} \in A B$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости грани . Проведём прямую , которая пересечёт ребро в точке .
Точки и лежат в плоскости грани . Соединяем точки и (пунктиром).
Точки и лежат в плоскости основания . Соединяем точки и (пунктиром).
Четырёхугольник (или треугольник ) — искомое сечение.

💡 Почему так

Две точки, лежащие в одной грани многогранника, можно соединить отрезком, принадлежащим сечению.

Ответ

;
Соединяем и ;
Соединяем и ;
Сечение — четырёхугольник .

№

Построение сечения тетраэдра

$E_{2} \in A B C$ . Постройте сечение тетраэдра $D A B C$ , проходящее через точки $E \in A D$ , $E_{1} \in B D C$ , $E_{2} \in A B C$ .

Решение

Проведём луч до пересечения с ребром в точке . Точка принадлежит плоскости .
В плоскости прямая пересекает ребро в точке и ребро (или ).
Точки и лежат в грани , соединяем их отрезком .
Прямая пересекает прямую в точке .
В грани прямая пересекает ребро в точке и ребро в точке .
Соединяем с точкой , а с . Получаем четырёхугольник .

Ответ

Четырёхугольник — искомое сечение.

№

Построение сечения параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через $F_{1} \in C M$ , $F_{3} = L$ (вершина $L$ ), точка на ребре $A N$ (или $K N$ ).

Решение

Точки и () лежат в грани , соединяем их: прямая пересекает ребро в точке .
В параллельных гранях и секущая плоскость пересекает грани по параллельным прямым. Через точку на ребре проводим прямую, параллельную .
Соединяем соответствующие следы в остальных гранях.

Ответ

Четырёхугольник, полученный соединением следов секущей плоскости на гранях параллелепипеда.

№

Построение сечения параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через $F \in A K$ , $F_{2} \in B L$ , $F_{3} \in N M$ , $F_{1} \in M L$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости нижнего основания , соединяем их отрезком .
Точки и лежат в плоскости правой грани , соединяем их отрезком .
В параллельных гранях линии пересечения параллельны: через точку проводим прямую, параллельную в грани , и прямую, параллельную в соответствующей плоскости.
Замыкаем контур сечения.

Ответ

Многоугольник, полученный проведением отрезков через заданные точки с использованием свойства параллельности противоположных граней параллелепипеда.

№

Построение сечения параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через $F \in A K$ , $F_{3} \in A B$ , $F_{2} \in B L$ , $F_{1} \in M L$ .

Решение

Точки и лежат в грани (или , — в плоскости грани ). Соединяем и .
Точки и лежат в плоскости грани (если и ). Соединяем их.
Точки и лежат в плоскости правой грани . Соединяем их отрезком .
Через точку в левой грани проводим прямую, параллельную , до пересечения с нижним ребром, и соединяем с в нижней грани.

Ответ

Сечение строится последовательным соединением точек в общих гранях и проведением параллельных отрезков в параллельных гранях параллелепипеда.

№

Построение сечения параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точки $F \in A K$ , $F_{2} \in B L$ , $F_{1} \in M L$ , $F_{3} \in N M$ .

Решение

Соединяем точки и , лежащие в плоскости грани основания .
Соединяем точки и , лежащие в плоскости грани .
Так как противоположные грани параллелепипеда параллельны, через точку в грани проводим прямую, параллельную .
Получаем след на ребре , который соединяем со следом на параллельно верхнему следу или напрямую через точку .

Ответ

Сечение строится соединением точек , и проведением прямых, параллельных им, в противоположных параллельных гранях.

№

Построение сечения параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точки $F_{1} \in A K$ , $F_{2} \in B L$ , $F_{3} \in N M$ .

Решение

Точки и лежат на вертикальных рёбрах и . Прямая лежит в плоскости .
Прямая параллельна ребру , так как плоскости сечений параллельны основаниям или пересекают их. Если прямая пересекает продолжения рёбер, находим точку пересечения с плоскостью основания.
Проводим прямую через полученную точку следа и точку .
Строим линии пересечения плоскости сечения с гранями многогранника параллельно найденным прямым.

Ответ

Сечение — многоугольник, построенный с помощью нахождения следов секущей плоскости на рёбрах параллелепипеда.

№

Построение сечения параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точки $F_{1} \in A D$ , $F \in K N$ , $F_{2} \in M L$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости левой грани . Соединяем точки и .
В противоположной правой грани сечение проходит по прямой, параллельной , проходящей через точку . Проводим через прямую, параллельную , до пересечения с рёбрами этой грани.
Точка и точка лежат в нижнем основании (или их следы). Соединяем соответствующие следы в нижнем и верхнем основаниях отрезками.

Ответ

Соединить и в грани ;
В грани через провести прямую, параллельную ;
Соединить полученные концы отрезков в плоскостях оснований.

Помогло?

Построение сечения тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки E, E₁, E₂…