ГДЗ по учебникамРешить по фотоРешения

По данным рисунка постройте: а) точки пересечения: прямой MN с плоскостью AA₁B,…

Геометрия10 классРешено по фото 2 октября 2026 в 20:34
№ Построение точек и линий пересечения в параллелепипеде

По данным рисунка постройте:
а) точки пересечения:
прямой MNMN с плоскостью AA1BAA_1B, прямой MNMN с плоскостью CC1D1CC_1D_1 и прямой A1NA_1N с плоскостью CDD1CDD_1; и прямой C1MC_1M с плоскостью ABB1ABB_1;
б) линию пересечения
плоскости C1MNC_1MN с плоскостью BB1C1BB_1C_1.
плоскости A1MNA_1MN с плоскостью DAA1DAA_1.

Решение
ABCDA1B1C1D1MN

По рисунку: дан параллелепипед . Точка лежит на ребре (или в грани ), точка лежит на отрезке (нижнем ребре/основании). Судя по чертежу, , (или лежит на грани , на ребре ).

а) Построение точек пересечения:

  1. Пересечение прямой с плоскостью (это плоскость грани ):
    Прямая пересекает плоскость в точке, где пересекается с прямой этой плоскости. Так как , а пересекает плоскость в точке , спроецируем точку на плоскость основания: если , то проекция — это . Тогда прямая лежит в плоскости основания . Прямая лежит в плоскости треугольника, проходящего через прямую и её проекцию. Прямая пересекает прямую (или прямую в грани ): прямая и не обязательно пересекаются, если не лежат в одной плоскости.
    Точнее, плоскость грани : прямая пересекает в точке . Прямая лежит в плоскости, проходящей через . Проведем через прямую, параллельную (или спроецируем на основание в точку ). Прямая лежит в плоскости основания .
    Прямая пересекает прямую в точке .
    Точка лежит в плоскости основания и в плоскости . В плоскости прямая пересекает вертикальную прямую, проходящую через , или если , то , тогда . В этом случае сразу пересекает плоскость в точке (если , то уже лежит в плоскости ).
    Если лежит на грани или на ребре : на рисунке лежит на ребре (или на , либо на грани). При стандартном расположении: на или . На чертеже точка отмечена на ребре (или ). Если , точка пересечения с — это сама точка . Если , то лежит в плоскости основания , и пересечение с — это точка пересечения прямых и : .
  2. Пересечение прямой с плоскостью :
    Прямая лежит в плоскости основания (если , ). Плоскость содержит ребро . Прямые и лежат в плоскости , их точка пересечения является искомой точкой пересечения прямой с плоскостью .
  3. Пересечение прямой с плоскостью :
    Точка лежит в плоскости , точка лежит на ребре , следовательно, прямая целиком лежит в плоскости грани . Плоскость пересекается с плоскостью по прямой . Значит, прямая пересекает плоскость в точке пересечения прямых и : .
  4. Пересечение прямой с плоскостью :
    Точка лежит в плоскости , точка лежит на ребре этой же грани. Значит, прямая целиком лежит в плоскости грани . Плоскость пересекается с плоскостью по ребру . Следовательно, точка пересечения прямой с плоскостью — это точка пересечения прямых и : .

б) Линии пересечения плоскостей:

  1. Плоскости с плоскостью :
    Точки и принадлежат плоскости по определению. Также точки и лежат в плоскости грани (так как — вершина, а ). Значит, эти две плоскости имеют две общие точки и . Следовательно, линия их пересечения — прямая .
  2. Плоскости с плоскостью :
    Точки и принадлежат плоскости . Точка — вершина грани , а точка лежит на ребре этой грани. Значит, обе точки и принадлежат плоскости . Следовательно, линия пересечения этих плоскостей — прямая .
Ответ

а)

  • Точка пересечения прямой с плоскостью — точка ;
  • Точка пересечения прямой с плоскостью — точка ;
  • Точка пересечения прямой с плоскостью — точка ;
  • Точка пересечения прямой с плоскостью — точка .

б)

  • Линия пересечения плоскости с плоскостью — прямая ;
  • Линия пересечения плоскости с плоскостью — прямая .
№ Построение точек и линий пересечения в параллелепипеде

По данным рисунка постройте:
а) точки пересечения:
прямой BMBM с плоскостью AA1C1AA_1C_1 и прямой D1MD_1M с плоскостью A1DBA_1DB; прямой CMCM с плоскостью BB1D1BB_1D_1 и прямой A1MA_1M с плоскостью D1ACD_1AC;
б) линию пересечения
плоскости B1ACB_1AC с плоскостью BDD1BDD_1, плоскости C1BDC_1BD с плоскостью A1ACA_1AC.

Решение
ABCDA1B1C1D1M

По рисунку: точка лежит на ребре .

а) Построение точек пересечения:

  1. Прямой с плоскостью :
    Прямая лежит в плоскости основания . Плоскость пересекает основание по диагонали . Значит, точка пересечения прямой с плоскостью лежит на пересечении и диагонали : .
  2. Прямой с плоскостью :
    Точки и лежат в плоскости грани . Плоскость пересекает грань : точка общая. Проведем плоскость через и прямую, параллельную ей, либо рассмотрим плоскость сечения.
    Проще: прямая лежит в плоскости грани . Точка . В плоскости лежит прямая . Прямая совпадает с прямой . Прямая пересекает плоскость в точке . Так как , а , прямая лежит в плоскости . Точка принадлежит как прямой (если ), так и плоскости . Но лежит на отрезке . Прямая лежит в грани , прямая — в основании. Точка пересечения прямой с плоскостью : проведем через плоскость, например , но это грань . Она пересекает плоскость по точке и точке пересечения с плоскостью . Поскольку , прямая параллельна плоскости . Линия пересечения проходит через параллельно . Прямая пересекает эту линию в искомой точке .
  3. Прямой с плоскостью :
    Точка лежит на , то есть прямая — это сама прямая . Прямая лежит в плоскости основания . Плоскость пересекает основание по диагонали . Значит, прямая пересекает плоскость в точке , так как и ().
  4. Прямой с плоскостью :
    Плоскость пересекает плоскость грани по диагонали . Проекция на плоскость основания — прямая . Диагональ пересекает в точке . Рассмотрим плоскость : она пересекает плоскость по прямой, соединяющей и точку пересечения с (или с плоскостью). Прямая лежит в плоскости ? Нет, , а . В плоскости проведем прямую . Она пересекает в точке . Плоскость содержит прямую и . Прямая пересекает отрезок, соединяющий с точкой на . Обозначим . Точка пересечения с плоскостью находится как пересечение с прямой, лежащей в плоскости : проведем плоскость через и , это плоскость . Она пересекает по прямой , где ... Проще: прямая пересекает плоскость в точке , где (если ).

б) Линии пересечения:

  1. Плоскости с плоскостью :
    Пусть — точка пересечения диагоналей основания . Точка и .
    Вторая общая точка: диагональ и прямая из . Точка принадлежит обеим плоскостям: и (так как это плоскость диагонального сечения ).
    Следовательно, линия пересечения плоскостей и — это прямая .
  2. Плоскости с плоскостью :
    Пусть . Точка и .
    Вершина лежит в плоскости (так как диагональное сечение содержит точки ). Также принадлежит плоскости .
    Следовательно, линия пересечения плоскостей и — это прямая .
Ответ

а)

  • Прямой с плоскостью : точка ;
  • Прямой с плоскостью : точка пересечения с прямой в плоскости , проходящей через параллельно ;
  • Прямой с плоскостью : точка ;
  • Прямой с плоскостью : точка пересечения прямой с отрезком, соединяющим и точку пересечения с .

б)

  • Линия пересечения плоскости с плоскостью — прямая , где ;
  • Линия пересечения плоскости с плоскостью — прямая , где .
№ Построение точек и линий пересечения в пирамиде

На данном рисунке точка KK лежит в плоскости ASBASB, точка NN — на отрезке ADAD. Постройте:
а) точку пересечения:
прямой BNBN с плоскостью ASCASC; прямой CNCN с плоскостью SBDSBD; прямой CKCK с плоскостью SBDSBD; и прямой DKDK с плоскостью ASCASC;
б) линию пересечения
плоскости SKCSKC с плоскостью SBNSBN, плоскости SKDSKD с плоскостью SCNSCN.

Решение
SABCDKN

По рисунку: дана четырехугольная пирамида . Точка лежит в грани , точка лежит на ребре основания .

а) Построение точек пересечения:

  1. Прямой с плоскостью :
    Прямая лежит в плоскости основания (так как и — точки основания). Плоскость пересекает плоскость основания по прямой .
    Следовательно, точка пересечения прямой с плоскостью — это точка пересечения прямых и :

  2. Прямой с плоскостью :
    Прямая лежит в плоскости основания (так как и — точки основания). Плоскость пересекает плоскость основания по прямой .
    Следовательно, точка пересечения прямой с плоскостью — это точка пересечения прямых и :

  3. Прямой с плоскостью :
    Точка лежит в плоскости грани . Проведем прямую до пересечения с ребром основания в точке .
    Тогда прямая лежит в плоскости треугольника .
    Плоскость пересекается с плоскостью :

  • общая точка ;
  • в основании прямая пересекает диагональ в точке .
    Значит, линия пересечения плоскостей и — это прямая .
    Прямая лежит в плоскости , поэтому искомая точка пересечения — это точка пересечения прямых и :
  1. Прямой с плоскостью :
    Аналогично, прямая пересекает в точке . Прямая лежит в плоскости треугольника .
    Плоскость пересекается с плоскостью :
  • общая точка ;
  • в основании прямая пересекает диагональ в точке .
    Линия пересечения плоскостей и — прямая .
    Искомая точка пересечения — это точка пересечения прямых и :

б) Построение линий пересечения:

  1. Линия пересечения плоскости с плоскостью :
  • Точка является общей точкой обеих плоскостей.
  • Найдем вторую общую точку в плоскости основания. Плоскость содержит прямую (где ). Плоскость содержит прямую . Прямые и лежат в плоскости основания и пересекаются в точке .
  • Точка принадлежит обеим плоскостям.
    Следовательно, линия пересечения — прямая .
  1. Линия пересечения плоскости с плоскостью :
  • Точка является общей точкой обеих плоскостей.
  • В плоскости основания: плоскость пересекает основание по прямой (где ), а плоскость пересекает основание по прямой .
  • Точка лежит в основании и принадлежит обеим плоскостям.
    Следовательно, линия пересечения — прямая .
Ответ

а)

  • Прямой с плоскостью : точка ;
  • Прямой с плоскостью : точка ;
  • Прямой с плоскостью : точка , где и ;
  • Прямой с плоскостью : точка , где и .

б)

  • Линия пересечения плоскости с плоскостью — прямая , где ();
  • Линия пересечения плоскости с плоскостью — прямая , где ().
Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото
Решить своё по фото