В тетраэдре DABC точки M и N — середины рёбер AB и… (геометрия)

АСечение тетраэдра

В тетраэдре $DABC$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AC$ соответственно. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $M$ , $N$ и $D$ . Определите вид полученного сечения.

Решение

Поскольку и — середины сторон треугольника , . Плоскость сечения пересекает грань по , а грани и — по и . Значит, сечение — треугольник .

Ответ

Треугольник .

АСечение параллелепипеда

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCD A_1B_1C_1D_1$ . Точка $K$ лежит на ребре $BB_1$ , точка $L$ — на ребре $CC_1$ . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$ , $K$ и $L$ .

Решение

Проведите на грани . Продлите эту прямую до пересечения с прямой (при необходимости — с её продолжением) и обозначьте точку пересечения . Проведите . На гранях параллелепипеда соедините точки пересечения плоскости с рёбрами: получившиеся отрезки образуют сечение. Его форма и число вершин зависят от положения и на рёбрах.

Ответ

Сечение строится по следам плоскости на гранях: через и проводится , затем определяется пересечение этого следа с прямой и проводится след через . Точное число вершин зависит от положения и .

ВСечение тетраэдра и параллельность

В тетраэдре $SABC$ точка $M$ лежит на ребре $SA$ , точка $N$ — на ребре $SB$ , точка $K$ — на ребре $BC$ . Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$ . Докажите, что линия пересечения этой плоскости с плоскостью $ABC$ параллельна прямой $MN$ , если $MN\parallel AB$ .

Решение

Плоскость пересекает грань по , а грань — по прямой, проходящей через . Обозначим её пересечения с рёбрами и через и соответственно; тогда сечение строится по отрезкам , , и (если эти точки лежат на соответствующих рёбрах).

Плоскости и пересекаются по прямой . В плоскости лежит , причём . Так как — линия пересечения плоскостей и , а параллельна этой линии, то линия пересечения плоскости с плоскостью параллельна .

Ответ

Линия пересечения плоскости с плоскостью параллельна .

ВСечение параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ постройте сечение плоскостью, проходящей через:

• точку $M$ — середину ребра $AD$ ,

• точку $N$ — середину ребра $A_1B_1$ ,

• точку $P$ — середину ребра $CC_1$ .

Найдите вид сечения и обоснуйте построение.

Решение

Продолжим плоскость сечения на грани : её след проходит через и пересекает ребро в точке . На верхней грани сечение соединяет с вершиной . На гранях и проведём и , а на грани — . Получается пятиугольник .

💡 Почему так

Пересечения плоскости с гранями параллелепипеда являются отрезками. Граничные отрезки соединяют найденные точки в замкнутый многоугольник.

Ответ

Сечение — пятиугольник , где — точка ребра , а .

ССечение тетраэдра и отношение отрезков

В тетраэдре $ABCD$ точка $M$ делит ребро $AB$ в отношении $AM:MB=1:2$ , точка $N$ делит ребро $CD$ в отношении $CN:ND=2:1$ . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $M$ , $N$ и точку $K$ — середину ребра $AC$ . Найдите, в каком отношении эта плоскость делит ребро $BD$ .

Решение

Обозначим через точку пересечения плоскости с ребром . Введём барицентрические координаты относительно вершин тетраэдра: , , , . Тогда

Уравнение плоскости через эти три точки можно записать как

На ребре координаты точек имеют вид , поэтому

Следовательно, . Сечение образуют точки пересечения плоскости с рёбрами , , и , поэтому оно — четырёхугольник .

Ответ

Сечение — четырёхугольник ; .

Помогло?