Изобразите две пересекающиеся в точке P прямые c и d и точки M, N, C, причем точка M принадлежит прямой c, N принадлежит прямой d, точка C не принадлежит данным прямым. Используя математические символы, сделайте необходимые записи.
Прямые c и d пересекаются в точке P. Точку M ставим на прямой c, точку N на прямой d, а точку C — вне обеих прямых.
Записи:
Определите взаимное расположение двух плоскостей α и β, если им принадлежат точки B и C. Ответ обоснуйте.
Точки B и C принадлежат и α, и β, то есть у плоскостей есть общие точки. Значит, они не параллельны.
Если плоскости различны, то по аксиоме: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Прямая, проходящая через две общие точки B и C, — это прямая BC. Значит,
Две плоскости с общими точками либо совпадают, либо пересекаются по прямой. Параллельными они быть не могут.
Плоскости α и β пересекаются по прямой BC (в частном случае могут совпасть); параллельными быть не могут.
Пользуясь данным рисунком, выполните задания:
а) назовите плоскость, проходящую через M и прямую AC и укажите прямую ее пересечения с плоскостью B₁C₁D₁;
б) постройте точку пересечения прямой KM с плоскостью A₁B₁C₁.
а) Точка M лежит на ребре CC₁. Прямая AC и точка M определяют плоскость
Эта плоскость пересекает плоскость верхнего основания
б) Точки K и M лежат в плоскости
а) плоскость
б)
Через наклонную к плоскости проведите плоскость, перпендикулярную этой плоскости.
Пусть AB — наклонная к плоскости α,
- Из точки B опускаем перпендикуляр BH на плоскость α:
, . - Через пересекающиеся прямые AB и BH проводим плоскость β = (ABH).
- Плоскость β проходит через прямую BH, перпендикулярную α. По признаку перпендикулярности плоскостей
.
Искомая плоскость — плоскость (ABH), где BH — перпендикуляр из точки B наклонной AB к плоскости α.
Через прямую не лежащую в данной плоскости проведите плоскость перпендикулярную данной плоскости.
Пусть прямая a не лежит в плоскости α.
- Если
, то любая плоскость, проходящая через a, перпендикулярна α (по признаку). - Если a не перпендикулярна α, возьмём на a точку B и опустим перпендикуляр BH на α.
- Через пересекающиеся прямые a и BH проводим плоскость β. Она проходит через
, поэтому . - Если
, то a и BH параллельны не будут, так что плоскость проводится так же. Единственность тоже сохраняется.
Искомая плоскость — плоскость, проходящая через данную прямую и перпендикуляр, опущенный из любой её точки на данную плоскость.
Точки A₁ и B₁ лежат в плоскости α, а точки A₂ и B₂ в плоскости β. Плоскость α параллельна плоскости β. Отрезки A₁A₂ и B₁B₂ пересекаются в точке C. Найдите B₁B₂, если A₁A₂=20 см., B₁C=6 см., CA₂=12 см.
Прямые
Треугольники
Точка M лежит на отрезке AB. Отрезок AB пересекается с плоскостью α в точке M. Через точки A и B проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁ и B₁. Найдите длину отрезка AB, если AA₁:BB₁=3:2, AM=6см.
Параллельные прямые
Треугольники
Из точки A проведены к плоскости α наклонная AB = 9 см и перпендикуляр AO = 6 см. Найдите проекцию этого перпендикуляра на данную наклонную.
Треугольник AOB прямоугольный (
В прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё:
Из данной точки проведены к данной плоскости две равные наклонные, образующие между собой угол 60°. Угол между их проекциями – прямой. Найдите угол между каждой наклонной и ее проекцией.
Пусть AB = AC = l — наклонные, AO — перпендикуляр к плоскости, OB и OC — проекции.
Треугольник ABC равнобедренный с углом
Проекции равны:
Угол φ между наклонной и проекцией — это угол ABO:
Точка M удалена от каждой вершины правильного треугольника на см, а от каждой его стороны – на 2 см. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость треугольника.
Точка M равноудалена от вершин, поэтому её проекция O — центр описанной окружности, то есть и центр вписанной. Пусть
Из прямоугольного треугольника MOH (H — основание перпендикуляра из M на сторону; по теореме о трёх перпендикулярах
- Сформулируйте вторую аксиому стереометрии. Сделайте рисунок.
- Сформулируйте признак параллельности плоскостей. Сделайте рисунок.
- Дать определение скрещивающихся прямых.
- В каком случае прямая и плоскость параллельны?
- Сформулировать второе свойство параллельных плоскостей и сделать рисунок.
- Дать определение перпендикулярных прямой и плоскости. Сделать чертеж.
- Сформулируйте обратную теорему о трех перпендикулярах. Сделать чертеж.
- Сформулировать признак перпендикулярности плоскостей. Сделать чертеж.
- Дать определение перпендикуляра к плоскости.
- Верно ли утверждение: Если две наклонные, проведенные из одной точки, не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.
AH ⊥ α, AM — наклонная, HM — проекция; если
- Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
- Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
- Скрещивающиеся прямые — прямые, не лежащие в одной плоскости.
- Когда у них нет общих точек.
- Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.
- Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой этой плоскости.
- Если прямая в плоскости, проведённая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
- Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
- Перпендикуляр к плоскости — отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, от точки вне плоскости до плоскости.
- Да, верно.
