Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD… (геометрия)

№ Построение сечений пирамиды

⚠️

Пункты а), б), в), г) закрыты на фото цветной заливкой, их условия не видны, поэтому они не решены. Решены пункты д), е), ж), з). Чтобы получить остальные, пришлите фото без заливки.

Основание пирамиды $S A B C D$ — параллелограмм $A B C D$ . Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через следующие точки:
д) середины рёбер $A D$ , $S C$ и точку $B$ ;
е) середины рёбер $A B$ , $A D$ и $S C$ ;
ж) центр основания, середину ребра $S D$ и точку $M$ ребра $S A$ , если $A M : M S = 1 : 3$ ;
з) середину ребра $S A$ и точки $M$ и $N$ рёбер $S B$ и $S C$ , если $B M : M S = S N : N C = 1 : 2$ .

Решение

Общий приём: след секущей плоскости в плоскости основания строим по двум точкам. Затем находим точки пересечения с рёбрами, соединяя точки, лежащие в одной грани.

д) Пусть — середина , — середина .

Точки и лежат в плоскости основания. Проводим прямую и находим (на продолжении за точку ).
Точки и лежат в плоскости грани . Проводим и находим .
Соединяем с (основание), с (грань ), с (грань ), с (грань ).

Сечение — четырёхугольник . Проверка в координатах (базис ): плоскость , она даёт .

е) Пусть — середина , — середина , — середина .

Проводим (она параллельна ). Находим (за точкой ) и (за точкой ).
В плоскости проводим и находим .
В плоскости проводим и находим .
Соединяем .

Сечение — пятиугольник . Проверка в координатах: плоскость , она даёт и .

ж) Пусть — центр основания, — середина . Точка лежит на так, что .

и лежат в плоскости . Проводим и находим (на продолжении за точку ).
и лежат в плоскости основания. Проводим и находим и .
Соединяем с (грань ), с (основание), с (грань ), с (грань ).

Сечение — четырёхугольник . Проверка в координатах: плоскость , она даёт и .

з) Пусть — середина . Точка лежит на так, что . Точка лежит на так, что .

В плоскости проводим и находим (за точкой ).
В плоскости проводим и находим (за точкой ).
Проводим — след секущей плоскости в основании. Находим (за точкой ).
В плоскости проводим и находим .
Соединяем с , с , с , с .

Сечение — четырёхугольник . Проверка в координатах: плоскость , она даёт .

💡 Почему так

Если две точки сечения лежат в одной грани, то прямая через них лежит и в секущей плоскости, и в плоскости этой грани. Продолжая такие прямые до пересечения с линиями основания, получаем след секущей плоскости. По нему находят остальные вершины сечения.

Ответ

д) сечение — четырёхугольник , где — середина , — середина , а лежит на , причём .
е) сечение — пятиугольник , где , , — данные середины, (), ().
ж) сечение — четырёхугольник , где (), (), — середина .
з) сечение — четырёхугольник , где — середина , а , причём .

Помогло?

Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Постройте сечение пирамиды…